Задача 10151213 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

5^{\log_{5}^{2} x} + x^{\log_{5} x} \geq 2 {\sqrt{5}}^{4}

Логарифм определён при x > 0.

ОДЗ

x > 0

Переписываем степень с логарифмом в показателе: x = 5ˡᵒᵍ⁵ˣ, поэтому xˡᵒᵍ⁵ˣ = 5ˡᵒᵍ⁵²ˣ. Оба слагаемых одинаковы.

x^{\log_{5} x} = {(5^{\log_{5} x})}^{\log_{5} x} = 5^{\log_{5}^{2} x}

5^{\log_{5}^{2} x} + 5^{\log_{5}^{2} x} = 2 \cdot 5^{\log_{5}^{2} x}

Правая часть 2√5⁴ = 2·25 = 2·5². Делим на 2.

2 \cdot 5^{\log_{5}^{2} x} \geq 2 \cdot 5^{2}

5^{\log_{5}^{2} x} \geq 5^{2}

\log_{5}^{2} x \geq 2

Степень с основанием 5 > 1 возрастает → сравниваем показатели.

(log₅x)² ≥ 2 ⟺ |log₅x| ≥ √2 ⟺ log₅x ≤ −√2 или log₅x ≥ √2. Основание 5 > 1, возрастает.

1) \log_{5} x \leq - \sqrt{2}

0 < x \leq 5^{- \sqrt{2}}

2) \log_{5} x \geq \sqrt{2}

x \geq 5^{\sqrt{2}}

Нижняя граница 0 случая 1 — из ОДЗ x > 0.

x \in (0; 5^{- \sqrt{2}}] \cup [5^{\sqrt{2}}; + \infty)