условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифм определён при x > 0; знаменатели не равны нулю.
ОДЗ
log₂(32x) = 5 + log₂x = 0 → x = 1/32.
шаг 2.Сводим к одной дроби
Обозначим t = log₂x: log₂(32x) = t + 5, log₂x¹⁶ = 16t. Складываем дроби и переносим правую часть влево.
(t+5)² + (t−5)² = 2t² + 50; вычитаем 16t + 18: 2t² − 16t + 32 = 2(t − 4)².
шаг 3.Метод интервалов в t
Корень числителя t = 4 — чётной кратности → петелька, закрашен. Точки разрыва t = −5 и t = 5 — выколоты.
Через петельку t = 4 знак не меняется. Решение: t < −5 или t = 4 или t > 5.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 4.Обратная замена
Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.x = 16 — изолированная точка (петелька).