условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все аргументы логарифмов положительны. Под корнем и в первом логарифме нужно x > 0; при x > 0 выражение x + 8/x² положительно автоматически. Аргумент правого логарифма раскладываем на множители; пересечение всех условий оставляет x > 0.
При x > 0 оба слагаемых x и 8/x² положительны, поэтому x + 8/x² > 0 без новых ограничений.
шаг 2.Приводим всё к основанию 2
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Внутри первого логарифма x + 8/x² = (x³ + 8)/x², тогда x² · (x³ + 8)/x² = x³ + 8.
шаг 3.Снимаем логарифм
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
(x² + 2x)² = x⁴ + 4x³ + 4x²; после переноса 4x³ + 32 слагаемые с x³ сокращаются.
шаг 4.Метод интервалов
Биквадратное выражение раскладываем как квадратный трёхчлен относительно x². Множитель x² + 8 положителен при любом x, поэтому знак определяет только x² − 4.
Замена u = x²: u² + 4u − 32 = (u + 8)(u − 4). Корень u = −8 невозможен (u = x² ≥ 0), остаётся u ≥ 4, то есть x² ≥ 4.
шаг 5.Пересечение с ОДЗ
Решение x ≤ −2 или x ≥ 2 пересекаем с ОДЗ x > 0 — остаётся луч [2; +∞).
Граница x = 2 закрашена (неравенство нестрогое и x = 2 в ОДЗ). Луч x ≤ −2 целиком вне ОДЗ x > 0.