условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все аргументы логарифмов положительны. Первые два условия дают x > 5/7; на этом луче третий аргумент тоже положителен.
ОДЗ
Третье условие при x > 0: 50x − 9/x − 10 > 0 ⟺ 50x² − 10x − 9 > 0; его корни (1 ± √19)/10 ≈ 0,54 и −0,34 меньше 5/7, поэтому на всей ОДЗ оно выполнено.
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Разность логарифмов слева сворачиваем в логарифм частного Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Основание 7 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем логарифм, сохраняя знак.шаг 3.Сводим к многочлену
Умножаем обе части на x > 0 и переносим всё в правую часть.
Корни x² − 10x + 16 по теореме Виета: сумма 10, произведение 16 → x = 2 и x = 8.
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Метод интервалов на (x − 2)(x − 8) ≥ 0: корни 2 и 8 закрашены (нестрогое ≥), парабола ветвями вверх неотрицательна вне корней — x ≤ 2 или x ≥ 8. Пересекаем с ОДЗ x > 5/7.
Отрезок (5/7; 2] — из левой ветви x ≤ 2 внутри ОДЗ, луч [8; +∞) — из правой. Границы 2 и 8 входят (нестрогое неравенство, обе в ОДЗ), 5/7 выколота.