условие
шаг 1.Приводим к основанию 5
Левый логарифм обозначаем u, правый — v. Основание правого равно 0,2 = 1/5 = 5⁻¹, поэтому логарифм по основанию 0,2 равен минус логарифму по основанию 5 Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
— значит v = −log₅((x − 3)/3). Возводим в квадрат (знак у v пропадает) и переносим влево: получаем разность квадратов u² − v²., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 2.Разность квадратов; считаем u − v
Раскладываем разность квадратов на произведение суммы и разности. Так как v = −log₅((x − 3)/3), разность u − v превращается в сумму логарифмов. Сворачиваем её в логарифм произведения Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
— свёртка корректна, пока оба аргумента положительны; это ограничение войдёт в систему на шаге рационализации., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
v отрицателен, поэтому вычитание v даёт сумму логарифмов. Множители (x − 3) складываются в квадрат, а 48 · 3 = 144.
шаг 3.Считаем u + v
Складываем u и v: так как v отрицателен, сумма u + v сводится к разности логарифмов — сворачиваем в логарифм частного и сокращаем.
v отрицателен, поэтому сложение даёт разность логарифмов. В частном сокращается (x − 3), а 48 : 3 = 16.
шаг 4.Метод рационализации
Неравенство стало произведением двух логарифмов. Обозначим их аргументы P и Q и применим метод рационализации Метод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
Множитель задаёт направление: при он положителен (знак как у ), при — отрицателен, знак переворачивается.
: знак logₐ f совпадает со знаком (a − 1)(f − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и положительность обоих исходных аргументов ② и ③.Основание 5 > 1, поэтому множитель (5 − 1) = 4 положителен и на знак не влияет — но выписываем его явно, по формуле. Условия ② и ③ — аргументы исходных логарифмов: они и составляют ОДЗ.
шаг 5.Неравенство ①
Вычисляем множители (5 − 1), приводим каждую скобку к одной дроби и убираем положительный знаменатель. Обе получившиеся скобки — разности квадратов.
У трёхчлена x² − 7x + 24 дискриминант отрицателен, ветви вверх — он положителен при всех x и на знак произведения не влияет.
Множитель x² — чётной кратности: в нуле петелька, знак через точку не меняется.
Пробная точка x = 1: 1²·(1 − 7)(1 − 8) = (−6)·(−7) = 42 > 0 — знак «+» между 0 и 7. Все корни выколоты (строгое >).
Решение ①: (−∞; 0) ∪ (0; 7) ∪ (8; +∞).Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 6.Ограничения ② и ③
Оба условия — положительность аргументов логарифмов. Положительные знаменатели 48 и 3 на знак не влияют. В ② множитель (x − 4)² чётной степени: он неотрицателен, знак задаёт (x − 3), а точку x = 4 условие исключает.
В ② корень x = 4 чётной кратности — петелька: знак через него не меняется, но сама точка выколота.
Решение ②: (3; 4) ∪ (4; +∞). Решение ③: (3; +∞).Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 7.Пересечение
Сводим три оси в одну. Ограничения ② и ③ отсекают всё левее 3, а точка 4 выколота условием ②.
Интервал (−∞; 0) ∪ (0; 3] из ① целиком уходит: там аргументы логарифмов неположительны. Остаётся (3; 4) ∪ (4; 7) и (8; +∞).Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.