Задача 10151245 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

333^{3} + 3 \cdot 333 x^{2} + 3^{\log_{x} (x - 333)} \geq x^{3} + 3^{3} \cdot 12321 x

шаг 1.Сворачиваем степенные слагаемые в куб разности

Замечаем, что 12321 = 111², поэтому 3³·12321 = 27·12321 = 3·333². Все слагаемые без логарифма складываются в полный куб: переносим их в левую часть и сворачиваем по формуле куба разности.

3^{3} \cdot 12321 = 27 \cdot 12321 = 3 \cdot 333^{2}

333^{3} - 3 \cdot 333^{2} x + 3 \cdot 333 x^{2} - x^{3} = {(333 - x)}^{3}

{(333 - x)}^{3} + 3^{\log_{x} (x - 333)} \geq 0

Левая часть содержит 333³ и 3·333·x², правая — x³ и 3·333²·x; вместе это 333³ − 3·333²·x + 3·333·x² − x³ = (333 − x)³.

шаг 2.Область допустимых значений

Основание степени x положительно и не равно единице, а аргумент логарифма x − 333 положителен. Условие x > 333 сильнее остальных и поглощает их.

ОДЗ

x > 0, x \neq 1, x - 333 > 0

x > 333

шаг 3.Сравниваем степени

На области допустимых значений 333 − x < 0, поэтому (333 − x)³ = −(x − 333)³. Неравенство превращается в сравнение двух положительных степеней. Основание x > 333 > 1, логарифм по основанию x возрастает — берём log_x от обеих частей.

3^{\log_{x} (x - 333)} \geq {(x - 333)}^{3}

\log_{x} (x - 333) \cdot \log_{x} 3 \geq 3 \log_{x} (x - 333)

\log_{x} (x - 333) (\log_{x} 3 - 3) \geq 0

log_x от 3^{log_x(x−333)} даёт log_x(x−333)·log_x3, от (x−333)³ — 3·log_x(x−333). Переносим всё влево и выносим общий множитель log_x(x−333).

шаг 4.Раскрываем знак произведения

Так как x > 333 > 3, выполнено log_x3 < log_x x = 1 < 3, значит множитель log_x3 − 3 отрицателен. Делим на него — знак неравенства переворачивается. Остаётся log_x(x − 333) ≤ 0, то есть x − 333 ≤ 1.

\log_{x} 3 - 3 < 0 \Rightarrow \log_{x} (x - 333) \leq 0

\log_{x} (x - 333) \leq \log_{x} 1 \Rightarrow x - 333 \leq 1

x \leq 334

Основание x > 1 — логарифм возрастает, поэтому log_x(x−333) ≤ 0 = log_x1 равносильно x − 333 ≤ 1.

шаг 5.Пересекаем с областью допустимых значений

Условие x ≤ 334 пересекаем с областью допустимых значений x > 333. Левая граница 333 выколота, правая 334 входит в ответ.

При x = 334: (333 − 334)³ + 3^{log_{334}1} = −1 + 1 = 0 — равенство достигается, точка входит.

ответ

x \in (333; 334]