Задача 10151033 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{6 - \log_{16} x^{4}}{3 + 2 \log_{16} x^{2}} < 2

Логарифм определён при x > 0; знаменатель не равен нулю.

ОДЗ

x > 0

3 + 2 \log_{16} x^{2} \neq 0

\log_{16} x \neq - \frac{3}{4} \Rightarrow x \neq \frac{1}{8}

16^{−3/4} = (2⁴)^{−3/4} = 2⁻³ = 1/8.

Обозначим u = log₁₆x. Тогда log₁₆x⁴ = 4u, а 2log₁₆x² = 4u. Переносим 2 влево и сводим к одной дроби.

u = \log_{16} x

\frac{6 - 4 u}{3 + 4 u} < 2

\frac{6 - 4 u - 2 (3 + 4 u)}{3 + 4 u} < 0

\frac{- 12 u}{3 + 4 u} < 0

\frac{u}{3 + 4 u} > 0

Делим на −12 < 0 — знак неравенства переворачивается.

Корень числителя u = 0 и точка разрыва u = −3/4 — выколоты (строгое неравенство).

Пробная точка u = 1: 1/7 > 0 → знак «+». Решение: u < −3/4 или u > 0.

Подставляем u = log₁₆x. Основание 16 > 1, логарифм возрастает — снимаем его. −3/4 = log₁₆(1/8), 0 = log₁₆1.

1) \log_{16} x < - \frac{3}{4}

\log_{16} x < \log_{16} \frac{1}{8}

0 < x < \frac{1}{8}

2) \log_{16} x > 0

\log_{16} x > \log_{16} 1

x > 1

Нижняя граница 0 случая 1 — из ОДЗ x > 0.

x \in (0; \frac{1}{8}) \cup (1; + \infty)