условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифм требует x > 0. Знаменатель log₅x − 5ˣ при x > 0 всегда отрицателен: показательная 5ˣ всюду больше логарифма log₅x, поэтому он в нуль не обращается.
ОДЗ
шаг 2.Переносим −1 влево
Обозначим a = 5ˣ, b = log₅x. Добавляем 1 к обеим частям; слагаемые a сокращаются.
(a + b² − 20) + (b − a) = b² + b − 20. По теореме Виета для b² + b − 20 = 0: сумма корней должна равняться −1, произведение — −20. Подбираем b₁ = −5 и b₂ = 4, отсюда b² + b − 20 = (b + 5)(b − 4).
шаг 3.Знаменатель отрицателен
Так как b − a < 0 при всех x > 0, дробь ≥ 0 равносильна тому, что числитель ≤ 0.
шаг 4.Обратная замена
Возвращаемся к x: −5 ≤ log₅x ≤ 4. Основание 5 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.−5 ≤ log₅x ≤ 4 ⟺ 5⁻⁵ ≤ x ≤ 5⁴, то есть 1/3125 ≤ x ≤ 625.