условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем квадратный трёхчлен во втором множителе — аргумент первого логарифма сворачивается в полный квадрат, умноженный на линейный множитель. ОДЗ берём из требования, что это произведение положительно.
ОДЗ
Множитель (x − 5)² ≥ 0 и обращается в ноль при x = 5, поэтому знак произведения задаёт (x + 3): отсюда x + 3 > 0 и x ≠ 5. Корни x² − 2x − 15 по Виета: произведение −15, сумма 2 → 5 и −3.
шаг 2.Переходим к основанию 2
По формуле перехода к новому основанию log₄ — половина log₂ (4 = 2²). Раскрываем логарифм произведенияПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
— множитель (x − 5)² квадрат, отрицательным не бывает, а x > −3 уже учтено в ОДЗ, поэтому тут применять это свойство безопасно. Одинаковое слагаемое слева и справа можно сократить без потери корней., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Снятие логарифма
Изолируем логарифм в левой части. Правую часть записываем как логарифм по основанию 2 — основание 2 > 1, функция возрастает, знак сохраняетсяЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
, поэтому снимаем логарифм и сравниваем аргументы.Представляем −2 как логарифм по основанию 2: по правилу log₂(2ᵏ) = k берём k = −2, поэтому −2 = log₂(2⁻²) = log₂(1/4), ведь 2⁻² = 1/4. Теперь обе части — логарифмы по основанию 2, и можно сравнивать аргументы.
шаг 4.Ответ на прямой
Условие x ≥ −11/4 уже лежит внутри ОДЗ (x > −3). Выкалываем x = 5.