Задача 10151271 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

5^{\log_{x} 2} \cdot \log_{2} x + 5^{\log_{2} x} \cdot \log_{x} 2 \leq 10

шаг 1.Область допустимых значений

Логарифмы log₂x и log_x2 определены при x > 0, а основание второго логарифма требует x ≠ 1.

ОДЗ

x > 0, x \neq 1

шаг 2.Обозначаем слагаемые

Пусть p = log₂x. Тогда log_x2 = 1/p, и два слагаемых левой части — это A = 5^{1/p}·p и B = 5^{p}·(1/p). Их произведение не зависит от p.

A = 5^{\log_{x} 2} \cdot \log_{2} x = p \cdot 5^{1 / p}

B = 5^{\log_{2} x} \cdot \log_{x} 2 = \frac{1}{p} \cdot 5^{p}

A \cdot B = 5^{1 / p} \cdot 5^{p} = 5^{p + \frac{1}{p}}

log_x2 = 1/log₂x = 1/p — переход к одному основанию логарифма.

шаг 3.Случай x > 1 (p > 0)

Оба слагаемых A, B положительны. По неравенству Коши их сумма не меньше 10, и условие A + B ≤ 10 выполнено только в точке равенства.

A + B \geq 2 \sqrt{A \cdot B} = 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} (p + \frac{1}{p})}

p + \frac{1}{p} \geq 2 \Rightarrow A + B \geq 2 \cdot 5^{1} = 10

Равенство в Коши требует A = B и p + 1/p = 2, то есть p = 1. При p = 1: x = 2, A = B = 5, сумма ровно 10 — годится.

шаг 4.Случай 0 < x < 1 (p < 0)

Здесь p < 0 и 1/p < 0, а степени 5^{1/p}, 5^{p} положительны. Поэтому оба слагаемых отрицательны, их сумма отрицательна — неравенство ≤ 10 выполнено при всех таких x.

A = p \cdot 5^{1 / p} < 0, B = \frac{1}{p} \cdot 5^{p} < 0

A + B < 0 < 10

шаг 5.Ответ на прямой

Объединяем: весь интервал (0; 1) и единственная точка x = 2.

x = 1 выколота по ОДЗ. Точка x = 2 — изолированное решение из случая x > 1.

ответ

x \in (0; 1) \cup {2}