условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все аргументы логарифмов положительны. Для log₂(x − 2021) нужно x > 2021; для log₂(x − 2022)² достаточно x ≠ 2022. Аргумент (x − 2022)⁴/(x − 2021)³ положителен, когда (x − 2021)³ > 0, то есть x > 2021. Итог ОДЗ: x > 2021 и x ≠ 2022.
шаг 2.Упрощаем логарифмы
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log₂(x − 2022)⁴ = 4·log₂|x − 2022| (чётная степень — берём модуль); log₂(x − 2021)³ = 3·log₂(x − 2021), так как на ОДЗ x − 2021 > 0.
шаг 3.Делаем замену
Обозначим t = log₂|x − 2022|. Делим обе части на 4 и переносим всё влево — получаем квадратное неравенство.
Корни t² + t − 6 по теореме Виета: сумма −1, произведение −6 → t = −3 и t = 2.
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни t = −3 и t = 2 — закрашены (нестрогое ≤). Парабола ветвями вверх неположительна между корнями.
Пробная точка t = 0: −6 < 0 → знак «−». Решение: −3 ≤ t ≤ 2.
шаг 5.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
1/8 = 2^(−3) = 0,125, поэтому 2022 − 1/8 = 2021,875 и 2022 + 1/8 = 2022,125.
шаг 6.Пересечение с ОДЗ
Полученные отрезки пересекаем с ОДЗ x > 2021, x ≠ 2022. Из левого отрезка [2018; 2021,875] проходит только часть x > 2021. Правый отрезок [2022,125; 2026] целиком в ОДЗ.