Задача 10151272 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{\log_{2} \log_{4} (x + 1)}{x^{2} - 6 x + 8} \cdot (25^{x} - 130 \cdot 5^{x} + 625) \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Внешний логарифм требует, чтобы внутренний был положителен: log₄(x + 1) > 0, то есть x + 1 > 1. Знаменатель x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4) не равен нулю.

ОДЗ

\log_{4} (x + 1) > 0 \Rightarrow x + 1 > 1 \Rightarrow x > 0

(x - 2) (x - 4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, x \neq 4

шаг 2.Раскладываем показательный множитель

Делаем замену u = 5ˣ: тогда 25ˣ = u². Квадратный трёхчлен раскладывается на множители.

25^{x} - 130 \cdot 5^{x} + 625 = u^{2} - 130 u + 625

D = 130^{2} - 4 \cdot 625 = 14400

u = \frac{130 \pm \sqrt{14400}}{2} \begin{matrix} = 125 \\ = 5 \end{matrix}

(5^{x} - 5) (5^{x} - 125)

шаг 3.Знаки множителей

Показательные разности сравниваем по монотонности 5ˣ (основание 5 > 1, функция возрастает). Внешний логарифм положителен, когда log₄(x + 1) > 1, то есть при x > 3.

log₂log₄(x+1): $\log_{4} (x + 1) ≷ 1 ⟺ x ≷ 3$ ⟺
- $знак = знак (x - 3)$
5ˣ − 5:
- $знак = знак (x - 1)$
5ˣ − 125:
- $знак = знак (x - 3)$

log₄(x + 1) = 1 при x = 3, поэтому внешний логарифм меняет знак в точке x = 3 — она же корень множителя 5ˣ − 125.

шаг 4.Метод интервалов в x

Знак выражения совпадает со знаком (x − 1)(x − 3)² / ((x − 2)(x − 4)). Точка x = 3 — корень чётной кратности (даёт и логарифм, и множитель 5ˣ − 125): петелька, знак через неё не меняется. Точки x = 1 и x = 3 закрашены, x = 2 и x = 4 выколоты.

Пробная точка x = 1,5: числитель (+)·(+)² > 0, знаменатель (−)(−) > 0 → «+» ✓. Через петельку в x = 3 знак сохраняется, поэтому на (2; 3) и (3; 4) он одинаковый — «−». Сама точка x = 3 входит в ответ (числитель = 0).

ответ

x \in [1; 2) \cup {3} \cup (4; + \infty)