условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы требуют x > 0; для log_x 2 нужно x ≠ 1, то есть t = log₂x ≠ 0.
ОДЗ
шаг 2.Замена t = log₂ x
По формуле перехода log_x 2 = 1/tПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Неравенство становится дробно-рациональным в t., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю t³. Множитель t² + 3 положителен — знак определяют (t² − 1) и t³.
t⁴ + 2t² − 3 = (t² + 3)(t² − 1); знак t³ совпадает со знаком t.
шаг 4.Метод интервалов в t
Нули числителя t = ±1 закрашены, точка t = 0 выколота.
Пробная точка t = 2: (1)(3)/8 > 0 ✓. Решение: −1 ≤ t < 0 или t ≥ 1.
шаг 5.Обратная замена
Переходим к x через t = log₂x; основание 2 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.−1 ≤ t < 0 ⟺ 1/2 ≤ x < 1; t ≥ 1 ⟺ x ≥ 2.