условие
шаг 1.Область допустимых значений
x > 0, x ≠ 1 (основание log_x); знаменатель не равен нулю.
ОДЗ
шаг 2.Сводим к одной дроби
Переходим к основанию 3Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
: log_x3 = 1/log₃x. С заменой t = log₃x сводим к рациональному неравенству., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Домножаем числитель и знаменатель на t: (5 − 7/t)·t = 5t − 7, (t − 1/t)·t = t² − 1. Вынося минус, получаем −(t² − 5t + 6). По теореме Виета для t² − 5t + 6 = 0: сумма корней должна равняться 5, произведение — 6. Подбираем t₁ = 2 и t₂ = 3, отсюда −t² + 5t − 6 = −(t − 2)(t − 3). Знаменатель — разность квадратов: t² − 1 = (t − 1)(t + 1).
шаг 3.Метод интервалов в t
Корни числителя t = 2 и t = 3 — закрашены (нестрогое ≥). Точки разрыва t = −1, t = 1 и выколотая по ОДЗ точка t = 0 (x = 1).
Пробная точка t = 4: −(2)(1)/((3)(5)) < 0 ✗. Знаки чередуются; t = 0 (x = 1) выколота из ОДЗ. Решение: −1 < t < 1 (t ≠ 0) или 2 ≤ t ≤ 3.
шаг 4.Обратная замена
Основание 3 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.x = 1 выколота из ОДЗ; [9; 27] — из случая 2.