Задача 10151276 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{8 \cdot 7^{x} - 4^{x \log_{2} 7} - 11}{{(2 x - 1)}^{2}} \geq 0

Знаменатель (2x − 1)² не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

{(2 x - 1)}^{2} \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}

Показатель x·log₂7 сворачивается: 4^{x·log₂7} = 2^{2x·log₂7} = (2^{log₂7})^{2x} = 7^{2x}. Получаем числитель только через 7ˣ.

4^{x \log_{2} 7} = 2^{2 x \log_{2} 7} = {(2^{\log_{2} 7})}^{2 x} = 7^{2 x}

8 \cdot 7^{x} - 7^{2 x} - 11

Квадрат (2x − 1)² > 0 при x ≠ 1/2, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя. Делаем замену u = 7ˣ > 0.

u = 7^{x} > 0 : 8 u - u^{2} - 11 \geq 0

u^{2} - 8 u + 11 \leq 0

Числитель ≥ 0 при том же u, что и u² − 8u + 11 ≤ 0 (знак сменился при умножении на −1).

Парабола ветвями вверх — между корнями она не положительна.

u^{2} - 8 u + 11 = 0

D = 8^{2} - 4 \cdot 11 = 20

u = \frac{8 \pm \sqrt{20}}{2} = 4 \pm \sqrt{5}

4 - \sqrt{5} \leq u \leq 4 + \sqrt{5}

Возвращаемся к x через u = 7ˣ; основание 7 > 1, функция возрастает. Точка x = 1/2 выколота по ОДЗ — она попадает внутрь отрезка.

4 - \sqrt{5} \leq 7^{x} \leq 4 + \sqrt{5}

\log_{7} (4 - \sqrt{5}) \leq x \leq \log_{7} (4 + \sqrt{5})

7^{1/2} = √7 ≈ 2,65 лежит между 4 − √5 ≈ 1,76 и 4 + √5 ≈ 6,24, поэтому x = 1/2 — внутренняя выколотая точка.

x \in [\log_{7} (4 - \sqrt{5}); \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \log_{7} (4 + \sqrt{5})]