условие
шаг 1.Область допустимых значений
Положительны аргументы всех логарифмов: у внутренних 7 − x и x + 20, у правого x² − 6x.
Пробная точка x = −1 для третьего условия: (−1)·(−1 − 6) = 7 > 0 — знак «+» левее нуля, чередование «+, −, +». Аргумент внешнего логарифма отдельного условия не даёт: он равен (7 − x) + (x + 20) = 27 > 0 при любом x из первых двух условий. Пересечение трёх условий — (−20; 0) ∪ (6; 7).
шаг 2.Сворачиваем левую часть
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log₃27 = 3, потому что 3³ = 27. Переменная слева сокращается полностью — вся левая часть равна числу 4.
шаг 3.Снимаем логарифм справа
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Знак «≥» сменился на «≤» не из-за умножения на −1, а потому что мы поменяли стороны местами: 4 ≥ log₂A ⟺ log₂A ≤ 4. По теореме Виета для x² − 6x − 16 = 0: сумма корней должна равняться 6, произведение — −16. Подбираем −2 и 8, отсюда x² − 6x − 16 = (x + 2)(x − 8). Пробная точка x = 0: (0 + 2)(0 − 8) = −16 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤).
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Решение неравенства −2 ≤ x ≤ 8 пересекаем с ОДЗ (−20; 0) ∪ (6; 7).
Левый край −20 и правый край 8 отсекаются: ОДЗ обрывается в нуле, а решение неравенства — в восьмёрке. Граница x = −2 закрашена (нестрогое ≤) и лежит внутри ОДЗ; точки 0, 6, 7 выколоты по ОДЗ.