Задача 10151209 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{\log_{2} (3 \cdot 2^{x - 1} - 1)}{x} \geq 1

шаг 1.Метод рационализации

Переносим единицу влево и записываем x = log₂2ˣ, чтобы числитель стал разностью логарифмов одного основания. Дальше — метод рационализации: log_a f − log_a g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничение ② на аргумент логарифма.

\frac{\log_{2} (3 \cdot 2^{x - 1} - 1) - \log_{2} 2^{x}}{x} \geq 0

⟺ {\begin{matrix} \frac{(2 - 1) ((3 \cdot 2^{x - 1} - 1) - 2^{x})}{x} \geq 0 & 1 \\ 3 \cdot 2^{x - 1} - 1 > 0 & 2 \end{matrix}

Ограничение x ≠ 0 отдельной строкой не выписываем — это точка разрыва дроби ①, она отметится выколотой точкой на её оси.

шаг 2.Неравенство ①

Упрощаем ①: множитель (2 − 1) = 1, а разность в числителе сворачивается в одну степень. Получается разность степеней одного основания — к ней снова применима рационализация.

1 \frac{(2 - 1) ((3 \cdot 2^{x - 1} - 1) - 2^{x})}{x} \geq 0

3 \cdot 2^{x - 1} - 2^{x} = 3 \cdot 2^{x - 1} - 2 \cdot 2^{x - 1} = 2^{x - 1}

\frac{2^{x - 1} - 1}{x} \geq 0

2^{x - 1} - 2^{0} \sim (2 - 1) ((x - 1) - 0)

\frac{x - 1}{x} \geq 0

Пробная точка x = 0,5: (0,5 − 1)/0,5 = −1 < 0 — знак «−» между 0 и 1, дальше чередование. Корень x = 1 закрашен (нестрогое ≥), точка разрыва x = 0 выколота. Решение ①: (−∞; 0) ∪ [1; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — аргумент логарифма положителен. Основание 2 > 1, показательная функция возрастает, поэтому сравниваем показатели.

2 3 \cdot 2^{x - 1} - 1 > 0

2^{x - 1} > \frac{1}{3}

x - 1 > \log_{2} \frac{1}{3} \Rightarrow x > \log_{2} \frac{2}{3}

log₂(1/3) + 1 = log₂(1/3) + log₂2 = log₂(2/3) ≈ −0,58.

шаг 4.Пересечение

Сводим оси ① и ② в одну. Ограничение ② обрезает левый луч ①, правый луч остаётся целиком.

Левый луч ① уходит в −∞, но ② оставляет от него только промежуток от log₂(2/3) до нуля. Обе границы выколоты: ноль — разрыв дроби, log₂(2/3) — строгое ограничение ОДЗ.

ответ

x \in (\log_{2} \frac{2}{3}; 0) \cup [1; + \infty)

$\frac{\log_{3} (4 \cdot 3^{x - 1} - 1)}{x} \geq 1$