Задача 10151039 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Логарифм с переменным основанием и замена

Отношение двух логарифмов по одному основанию 6 — это логарифм с новым основанием . Вводим замену t = x + 1/x; чтобы это основание было допустимым, нужно x + 1/x > 0, то есть x > 0, и тогда по неравенству о средних t ≥ 2 . Через t выражаем аргумент.

\frac{\log_{6} A}{\log_{6} B} = \log_{B} A

t = x + \frac{1}{x}, x > 0 \Rightarrow t \geq 2

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 10 = t^{2} - 12

\log_{t} (t^{2} - 12) \geq 1

шаг 2.Метод рационализации

Единицу справа записываем как log_t t — неравенство становится разностью логарифмов. Основание t переменное, поэтому знак задаём методом рационализации : знак log_t A − log_t t совпадает со знаком (t − 1)(A − t). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③ на аргумент и основание.

\log_{t} (t^{2} - 12) \geq \log_{t} t

⟺ {\begin{matrix} (t - 1) ((t^{2} - 12) - t) \geq 0 & 1 \\ t^{2} - 12 > 0 & 2 \\ t > 0, t \neq 1 & 3 \end{matrix}

Условие ② — аргумент логарифма, ③ — основание. Условие замены t ≥ 2 на осях показываем выноской.

шаг 3.Неравенство ①

Раскрываем скобку в ① и раскладываем получившийся квадратный трёхчлен по теореме Виета.

1 (t - 1) ((t^{2} - 12) - t) \geq 0

(t - 1) (t^{2} - t - 12) \geq 0

t^{2} - t - 12 = (t - 4) (t + 3)

(t - 1) (t - 4) (t + 3) \geq 0

По теореме Виета для t² − t − 12 = 0: сумма корней должна равняться 1, произведение — −12. Подбираем t₁ = 4 и t₂ = −3, отсюда t² − t − 12 = (t − 4)(t + 3). Пробная точка t = 0: (0 − 1)(0 − 4)(0 + 3) = (−1)·(−4)·3 = 12 > 0 — знак «+» между −3 и 1; через простые корни знак чередуется. Все корни закрашены (нестрогое ≥). Решение ①: [−3; 1] ∪ [4; +∞).

шаг 4.Ограничения ② и ③

Условие ② — квадратное неравенство. Условие ③ выполнено автоматически: по замене t ≥ 2, значит основание положительно и единице не равно.

2 t^{2} - 12 > 0

t^{2} > 12

t < - 2 \sqrt{3} или t > 2 \sqrt{3}

3 t > 0, t \neq 1

верно, так как t \geq 2

Ось рисуем только для ② — условие ③ верно на всём промежутке замены и ничего не отсекает. 2√3 ≈ 3,46. Решение ②: (−∞; −2√3) ∪ (2√3; +∞).

шаг 5.Пересечение

Сводим оси в одну. Кусок [−3; 1] лежит левее двойки и отсекается условием замены t ≥ 2, а промежуток (2√3; 4) не проходит по ①.

Точка t = 4 закрашена: в ней аргумент равен основанию (4² − 12 = 4), логарифм равен единице — равенство входит. Решение в t: [4; +∞).

шаг 6.Обратная замена

Возвращаемся к x: t = x + 1/x ≥ 4 при x > 0. Домножаем на x > 0 и решаем квадратное неравенство.

x + \frac{1}{x} \geq 4 | \cdot x

x^{2} + 1 \geq 4 x

x^{2} - 4 x + 1 \geq 0

x^{2} - 4 x + 1 = 0

D = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12

x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}

(x - (2 - \sqrt{3})) (x - (2 + \sqrt{3})) \geq 0

Домножаем на x > 0, знак сохраняется. Пробная точка x = 1: 1 − 4 + 1 = −2 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≥). Выноска от нуля — условие x > 0 из замены: 2 − √3 ≈ 0,27 > 0, поэтому левый кусок остаётся в виде (0; 2 − √3]; 2 + √3 ≈ 3,73.

условие