условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент логарифма положителен.
ОДЗ
шаг 2.Сводим к показательному
Заносим коэффициенты в показатели и правую часть записываем логарифмом того же основания, затем сворачиваем сумму слева в логарифм произведения. Основание 3 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем его и делим на 9ˣ.6²ˣ = 36ˣ, 3·9ˣ = 3²ˣ⁺¹; 36ˣ/9ˣ = 4ˣ.
шаг 3.Делаем замену
Обозначим s = 4ˣ, s > 0. Решаем квадратное неравенство.
По теореме Виета для s² − 2s − 3 = 0: сумма корней должна равняться 2, произведение — −3. Подбираем s₁ = 3 и s₂ = −1, отсюда s² − 2s − 3 = (s − 3)(s + 1). Пробная точка s = 0: (0 − 3)(0 + 1) = −3 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Выноска показывает ограничение замены s > 0: из отрезка [−1; 3] остаётся 0 < s ≤ 3.
шаг 4.Обратная замена
Подставляем s = 4ˣ. Основание 4 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— снимаем и пересекаем с ОДЗ x > 1/2.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
log₄3 ≈ 0,79 > 1/2 — пересечение непусто. Левая граница 1/2 выколота по ОДЗ, правая log₄3 закрашена.