Задача 10151203 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{10^{x}}{2 (\log_{2}^{2} {(x + 1)}^{2}) \log_{3} (x + 2)} \leq \frac{{(15 \cdot 3^{x})}^{x}}{9 (\log_{2}^{2} {(x + 1)}^{2}) \log_{3} (x + 2)}

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы логарифмов положительны, а знаменатели не равны нулю. Множитель log₂²((x+1)²) — квадрат, он обращается в ноль там, где log₂((x+1)²) = 0.

ОДЗ

{(x + 1)}^{2} > 0 \Rightarrow x \neq - 1

x + 2 > 0 \Rightarrow x > - 2

\log_{2} {(x + 1)}^{2} \neq 0 \Rightarrow {(x + 1)}^{2} \neq 1

\Rightarrow x \neq 0, x \neq - 2

\log_{3} (x + 2) \neq 0 \Rightarrow x + 2 \neq 1 \Rightarrow x \neq - 1

x \in (- 2; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (0; + \infty)

шаг 2.Переносим в одну сторону

Знаменатели отличаются лишь числовым множителем — 2 слева и 9 справа. Обозначим D = log₂²((x+1)²)·log₃(x+2) — общий множитель. Переносим правую дробь влево и приводим к общему знаменателю 18D.

\frac{10^{x}}{2 D} - \frac{{(15 \cdot 3^{x})}^{x}}{9 D} \leq 0

\frac{9 \cdot 10^{x} - 2 {(15 \cdot 3^{x})}^{x}}{18 D} \leq 0

шаг 3.Раскрываем показатель и выносим 5ˣ

Раскрываем степень в правом числителе и представляем 10ˣ через простые множители. Из всего числителя выносим множитель 5ˣ > 0 — знак числителя задаёт оставшаяся скобка.

{(15 \cdot 3^{x})}^{x} = 15^{x} \cdot 3^{x^{2}} = 5^{x} \cdot 3^{x^{2} + x}

10^{x} = 2^{x} \cdot 5^{x}

9 \cdot 10^{x} - 2 (15 \cdot 3^{x})^{x} = 5^{x} (9 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 3^{x^{2} + x})

шаг 4.Знак показательной скобки

В скобке — разность двух положительных показательных выражений. Сравниваем их, логарифмируя по основанию 10 (логарифм возрастает — знак сохраняется), и раскладываем на множители.

9 \cdot 2^{x} \geq 2 \cdot 3^{x^{2} + x}

\lg 9 + x \lg 2 \geq \lg 2 + (x^{2} + x) \lg 3

\lg 3 (x^{2} + x - 2) - \lg 2 (x - 1) \leq 0

(x - 1) [\lg 3 (x + 2) - \lg 2] \leq 0

x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1

\lg 3 (x + 2) = \lg 2 \Rightarrow x + 2 = \log_{3} 2

x = \log_{3} 2 - 2 = \log_{3} \frac{2}{9}

9 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 3^{x^{2} + x} \geq 0 \Leftrightarrow \log_{3} \frac{2}{9} \leq x \leq 1

Скобка положительна на (log₃(2/9); 1) и отрицательна вне этого отрезка; в точках x = log₃(2/9) и x = 1 она равна нулю.

шаг 5.Метод интервалов

Множитель 5ˣ положителен, значит знак числителя совпадает со знаком скобки: он положителен на (log₃(2/9); 1). В знаменателе log₂²((x+1)²) ≥ 0 — квадрат, зануляется лишь при x = 0 (петелька, знак не меняется), а знак задаёт log₃(x+2): он отрицателен на (−2; −1) и положителен при x > −1. Наносим нули числителя (закрашены, ≤) и точки разрыва (выколоты), расставляем знаки дроби.

Пробная точка x = −1,2 ∈ (log₃(2/9); −1): числитель > 0, знаменатель < 0 → дробь < 0 ✓. Пробная точка x = 2: числитель < 0, знаменатель > 0 → дробь < 0 ✓. В точке x = 0 знаменатель — квадрат, знак не меняется (петелька).

ответ

x \in [\log_{3} \frac{2}{9}; - 1) \cup [1; + \infty)