Глава 1. Алгебраические неравенства — №16 Неравенства | Мария Беличенко

убрать аналоги

\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 2} - \frac{6}{x + 3} \geq 0

1-1-сумма_дробей_общий_знаменатель

Сумма (разность) нескольких дробей

Признак. Две или больше дробей в одной части неравенства.

Решение. Привести к общему знаменателю; разложить числитель на множители; метод интервалов с учётом ОДЗ.

\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} \leq \frac{{(2 x^{2} - x + 5)}^{2}}{2 {(x + 2)}^{2} {(x - 3)}^{2}}

1-1-тождество_неравенство_сумма_квадратов

Тождество-неравенство: сумма квадратов

Признак. Дроби с квадратами в числителях/знаменателях; обычно симметричная структура.

Решение. Свести L − R к сумме квадратов через (a − b)² ≥ 0 или неравенство Коши–Буняковского.

0103 0104 0105 0108 0110 0121 0137 0138 0139 0143 0144 0145 0146 0149 0150 0151 0152 0164 0187 0188 0189 0191 0206 0207 0210 0211 0212 0213 0214 0215 0216 0217 0218 0219 0220

\frac{{(x - 1)}^{2} (x + 3)}{{(x + 2)}^{3}} \geq 0

1-1-одна_дробь

Одна дробь P(x)/Q(x)

Признак. Левая часть — одна дробь (с любыми множителями и степенями); справа — число.

Решение. Если справа не ноль — перенести и привести к общему знаменателю. Разложить числитель и знаменатель на множители; метод интервалов; нули знаменателя выколоты, чётность степеней учитывается.

0109 0119 0134 0153 0154 0155 0168 0169 0170 0173 0174 0175 0202 0203 0204 0208

| x - 1 | + | x + 2 | \leq 5

1-2-несколько_модулей_по_интервалам

Несколько модулей: метод интервалов

Признак. В выражении два и больше |…|.

Решение. Найти все нули подмодульных выражений; разбить числовую прямую; на каждом интервале раскрыть все модули; объединить решения.

0301 0302 0303 0312 0313 0314 0315 0316 0322 0323 0324 0325 0326 0327 0328 0329 0333 0334 0337 0338 0341 0342 0343

| x - 3 | \geq 2 x + 1

1-2-один_модуль_по_определению

Один модуль: раскрытие по определению

Признак. Содержит один |…| с линейным или квадратичным выражением внутри.

Решение. Развернуть в равносильную систему −A ≤ … ≤ A или разбить на случаи по знаку подмодульного выражения.

0304 0305 0306 0307 0308 0309 0310 0311 0317 0318 0319 0320 0321 0330 0331 0332 0335 0336 0339 0340 0344

\sqrt{x + 1} > x - 2

1-3-один_корень_возведение_в_квадрат

Один корень против многочлена

Признак. Одно выражение с √f(x); противоположная часть — многочлен.

Решение. ОДЗ подкоренного выражения; переход к равносильной системе по знаку правой части; возведение в квадрат.

0402 0403 0404 0406 0407 0408 0409 0415 0416 0417 0418 0423 0424 0425 0426 0430 0431

\sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 1} \geq 1

1-3-несколько_корней_перенос_возведение

Сумма или сравнение корней

Признак. Два и больше арифметических корня в выражении.

Решение. ОДЗ всех подкоренных; перенос одного корня в другую часть; возведение в квадрат, при необходимости повторить; контроль знаков.

0401 0405 0410 0411 0412 0413 0414 0419 0420 0421 0422 0427 0428 0429 0432 0433