шаг 1.Область допустимых значений

В степенях с показателем −1 спрятаны знаменатели: (x + 1)⁻¹ = 1/(x + 1), (x + 6)⁻¹ = 1/(x + 6). Раскладываем знаменатель x² + 7x + 6 на множители и выписываем ОДЗ — знаменатели ≠ 0.

Корни x² + 7x + 6 устно по теореме Виета: сумма корней равна −7, произведение 6 → −1 и −6.

шаг 2.Упрощаем левую часть

Приводим к общему знаменателю.

шаг 3.Сокращаем общий знаменатель

Знаменатель (x + 1)²(x + 6)² на ОДЗ — произведение двух положительных квадратов, всегда > 0. Умножаем обе части на него — направление неравенства сохраняется. Затем раскрываем модуль по правилу |A| ≥ a ⟺ A ≥ a или A ≤ −a.

Точки x = −1 и x = −6 уже исключены ОДЗ как нули знаменателя, поэтому умножение на (x + 1)²(x + 6)² корней не теряет.

шаг 4.Случай 1: x² − 10x ≥ 25

Решаем первую ветку совокупности.

Парабола ветвями вверх с корнями 5 ± 5√2 — вне корней положительна, между — отрицательна.

шаг 5.Случай 2: x² − 10x ≤ −25

Второй случай раскрытия модуля. Полный квадрат всегда неотрицателен, поэтому ≤ 0 даёт единственное решение.

x² − 10x + 25 = (x − 5)² по формуле (a − b)². Квадрат ≥ 0 всегда, равенство нулю — только при x = 5 (изолированное решение).

шаг 6.Итог

Объединяем результаты двух случаев и пересекаем с ОДЗ. 5 − 5√2 ≈ −2,07; точка x = −6 ∈ (−∞; 5 − 5√2], её выкалываем; x = −1 лежит в промежутке между интервалами, на ответ не влияет.