Задача 10150142 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

{(\frac{2}{x + 3} + \frac{x + 3}{2})}^{2} \leq \frac{25}{4}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель x + 3 не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x + 3 \neq 0 ⟺ x \neq - 3

шаг 2.Применяем разность квадратов

Замечаем, что 25/4 = (5/2)². Переносим (5/2)² влево и применяем формулу A² − B² = (A − B)(A + B): неравенство превращается в произведение двух множителей ≤ 0.

{(\frac{2}{x + 3} + \frac{x + 3}{2})}^{2} \leq \frac{25}{4}

{(\frac{2}{x + 3} + \frac{x + 3}{2})}^{2} \leq {(\frac{5}{2})}^{2}

{(\frac{2}{x + 3} + \frac{x + 3}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} \leq 0

(\frac{2}{x + 3} + \frac{x + 3}{2} - \frac{5}{2}) (\frac{2}{x + 3} + \frac{x + 3}{2} + \frac{5}{2}) \leq 0

Здесь A = 2/(x + 3) + (x + 3)/2 (выражение в исходных скобках), B = 5/2.

шаг 3.Упрощаем первый множитель

Приводим f − 5/2 к общему знаменателю 2(x + 3), раскрываем числитель, приводим подобные и сразу раскладываем.

\frac{2}{x + 3} + \frac{x + 3}{2} - \frac{5}{2} = \frac{4 + {(x + 3)}^{2} - 5 (x + 3)}{2 (x + 3)} =

= \frac{4 + x^{2} + 6 x + 9 - 5 x - 15}{2 (x + 3)} =

= \frac{x^{2} + x - 2}{2 (x + 3)} = \frac{(x - 1) (x + 2)}{2 (x + 3)}

Корни x² + x − 2 подбираем устно по теореме Виета: ищем два числа с произведением −2 (свободный член) и суммой −1 (минус коэффициент при x). Подходят 1 и −2, значит x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2).

шаг 4.Упрощаем второй множитель

Аналогично приводим f + 5/2 к общему знаменателю 2(x + 3) и сразу раскладываем.

\frac{2}{x + 3} + \frac{x + 3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{4 + {(x + 3)}^{2} + 5 (x + 3)}{2 (x + 3)} =

= \frac{4 + x^{2} + 6 x + 9 + 5 x + 15}{2 (x + 3)} =

= \frac{x^{2} + 11 x + 28}{2 (x + 3)} = \frac{(x + 4) (x + 7)}{2 (x + 3)}

Корни x² + 11x + 28 подбираем устно по теореме Виета: ищем два числа с произведением 28 и суммой 11. Подходят 4 и 7, значит x² + 11x + 28 = (x + 4)(x + 7).

шаг 5.Метод интервалов

Подставляем найденные множители обратно в произведение и сводим к одной дроби — на ней и применяем метод интервалов.

\frac{(x - 1) (x + 2)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 7)}{2 (x + 3)} \leq 0

\frac{(x - 1) (x + 2) (x + 4) (x + 7)}{4 {(x + 3)}^{2}} \leq 0

Пробная точка x = 0 на интервале (−2; 1): подставляем в (x − 1)(x + 2)(x + 4)(x + 7)/(4(x + 3)²) и получаем (−1)·2·4·7/(4·9) = −56/36 < 0, значит знак «−». Корни числителя −7, −4, −2, 1 нечётной кратности — знаки чередуются через них. Корень знаменателя −3 чётной кратности, поэтому через него знак выражения не меняется: слева и справа от −3 одинаковые «+». Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−».

ответ

x \in [- 7; - 4] \cup [- 2; 1]