Задача 10150214 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

x^{3} + 6 x^{2} + \frac{- 8 x^{2} + 4 x + 16}{x + 4} \leq 4

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x + 4 \neq 0 ⟺ x \neq - 4

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (x + 4).

x^{3} + 6 x^{2} + \frac{- 8 x^{2} + 4 x + 16}{x + 4} - 4 \leq 0

\frac{(x^{3} + 6 x^{2}) (x + 4) + (- 8 x^{2} + 4 x + 16) - 4 (x + 4)}{x + 4} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

Раскрываем единственное произведение и приводим подобные: линейные слагаемые взаимно уничтожаются. Затем выносим x² и раскладываем оставшийся квадратный трёхчлен по Виета — произведение 16, сумма 10, корни −2 и −8.

(x^{3} + 6 x^{2}) (x + 4) + (- 8 x^{2} + 4 x + 16) - 4 (x + 4) =

= x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x^{2} + 4 x + 16 - 4 x - 16 =

= x^{4} + 10 x^{3} + 16 x^{2}

x^{4} + 10 x^{3} + 16 x^{2} = x^{2} (x^{2} + 10 x + 16) = x^{2} (x + 2) (x + 8)

\frac{x^{2} (x + 2) (x + 8)}{x + 4} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −8 (закрашена), −4 (выколота — точка разрыва), −2 (закрашена), 0 (закрашена — корень кратности 2, петелька).

Пробная точка x = 10: 100·12·18/14 > 0, значит на (0; +∞) знак «+». Корень 0 чётной кратности — знак через эту точку не меняется (петелька), с обеих сторон «+». Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя −8, −2 и точкой 0.

ответ

x \in (- \infty; - 8] \cup (- 4; - 2] \cup {0}