Задача 10150323 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{| x^{2} + 2 x - 3 | - | x^{2} + 3 x + 5 |}{2 x + 1} \geq 0

У x² + 3x + 5 дискриминант 9 − 20 = −11 < 0, поэтому x² + 3x + 5 > 0 при всех x. Модуль снимается тривиально: |x² + 3x + 5| = x² + 3x + 5.

x^{2} + 3 x + 5 : D = 9 - 20 = - 11 < 0 ⟹ x^{2} + 3 x + 5 > 0

| x^{2} + 3 x + 5 | = x^{2} + 3 x + 5

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

2 x + 1 \neq 0 ⟺ x \neq - \frac{1}{2}

На этих x: x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1) ≥ 0, поэтому |x² + 2x − 3| = x² + 2x − 3.

\frac{(x^{2} + 2 x - 3) - (x^{2} + 3 x + 5)}{2 x + 1} \geq 0

\frac{- x - 8}{2 x + 1} \geq 0

\frac{x + 8}{2 x + 1} \leq 0

метод интервалов: корни - 8, - \frac{1}{2}

\frac{x + 8}{2 x + 1} \leq 0 ⟺ - 8 \leq x < - \frac{1}{2}

На этих x: x² + 2x − 3 < 0, поэтому |x² + 2x − 3| = −(x² + 2x − 3). Числитель раскладывается, появляется множитель (2x + 1), который сокращается.

\frac{- (x^{2} + 2 x - 3) - (x^{2} + 3 x + 5)}{2 x + 1} \geq 0

\frac{- 2 x^{2} - 5 x - 2}{2 x + 1} \geq 0

2 x^{2} + 5 x + 2 = 0, D = 9, x = \frac{- 5 \pm 3}{4} \Rightarrow - 2, - \frac{1}{2}

2 x^{2} + 5 x + 2 = (2 x + 1) (x + 2)

\frac{- (2 x + 1) (x + 2)}{2 x + 1} \geq 0 ⟺ - (x + 2) \geq 0 ⟺ x \leq - 2

Сокращение (2x + 1) допустимо: x = −1/2 уже исключено ОДЗ.

Случай 1 даёт [−8; −3], случай 2 даёт (−3; −2]. Склеиваем: [−8; −2].

x \in [- 8; - 2]