Задача 10150201 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{20 + x - x^{2}}{x^{2} - 5 x} \leq 1 - \frac{2}{x - 1}

шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем x² − 5x = x(x − 5). Знаменатели не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} - 5 x \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x (x - 5) \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq 5 \\ x \neq 1 \end{matrix}

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю x(x − 5)(x − 1). Первое слагаемое домножаем на (x − 1), второе (−1) — на x(x − 5)(x − 1), третье (+2/(x − 1)) — на x(x − 5).

\frac{20 + x - x^{2}}{x (x - 5)} - 1 + \frac{2}{x - 1} \leq 0

\frac{(20 + x - x^{2}) (x - 1) - x (x - 5) (x - 1) + 2 x (x - 5)}{x (x - 5) (x - 1)} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

Числитель — сумма трёх произведений: первая дробь (20 + x − x²) домножена на (x − 1), перенесённая единица — на x(x − 5)(x − 1), последняя дробь — на x(x − 5). Раскрываем параллельно, собираем поразрядно, общий множитель −2 выносим в конце.

(20 + x - x^{2}) (x - 1) - x (x - 5) (x - 1) + 2 x (x - 5) =

= (- x^{3} + 2 x^{2} + 19 x - 20) - (x^{3} - 6 x^{2} + 5 x) + (2 x^{2} - 10 x) =

= (- 1 - 1) x^{3} + (2 + 6 + 2) x^{2} + (19 - 5 - 10) x - 20 =

= - 2 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x - 20 = - 2 (x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 10)

\frac{- 2 (x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 10)}{x (x - 5) (x - 1)} \leq 0

шаг 4.Группировка в числителе

В x³ − 5x² − 2x + 10 группируем первые два слагаемых и последние два, выносим общие множители.

x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 10 = x^{2} (x - 5) - 2 (x - 5) =

= (x - 5) (x^{2} - 2)

\frac{- 2 (x - 5) (x^{2} - 2)}{x (x - 5) (x - 1)} \leq 0

шаг 5.Метод интервалов

Раскладываем оставшийся x² − 2 как разность квадратов. Корни числителя: −√2, √2, 5. В знаменателе: 0, 1, 5 — точки разрыва. Точка x = 5 — корень чётной кратности (общий ноль числителя и знаменателя) → выколота по ОДЗ, петелька, знак через неё не меняется. Корни числителя −√2 и √2 — закрашены (нестрогое ≤).

x^{2} - 2 = (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})

\frac{- 2 (x - 5) (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})}{x (x - 5) (x - 1)} \leq 0

Пробная точка x = 10 на интервале (5; +∞): подставляем в −2(x − 5)(x − √2)(x + √2)/(x(x − 5)(x − 1)) и получаем −2·5·(100 − 2)/(10·5·9) = −980/450 < 0, значит знак «−». Через корни −√2, 0, 1, √2 знаки чередуются; через петельку 5 знак НЕ меняется. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя −√2 и √2.

ответ

x \in (- \infty; - \sqrt{2}] \cup (0; 1) \cup [\sqrt{2}; 5) \cup (5; + \infty)