шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем x² − 2x = x(x − 2), x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1).

Пересечение «x ≤ 0 или x ≥ 2» и «x ≤ 2 или x ≥ 3» даёт три зоны: (−∞; 0], {2} (точка совпадения границ) и [3; +∞).

шаг 2.Рационализация числителя

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение √(x² − 2x) + √(x² − 5x + 6). Получаем разность квадратов в числителе.

На ОДЗ S = √(…) + √(…) — сумма двух неотрицательных. Равно нулю только если оба корня = 0, то есть x²−2x=0 И x²−5x+6=0 → x∈{0,2}∩{2,3}={2}. Но при x=2 в числителе тоже 0; рассмотрим отдельно.

шаг 3.Случай x = 2

Подставляя x = 2 в исходное выражение: числитель √0 − √0 = 0, знаменатель (2 − 4)(2 + 1) = −6 ≠ 0. Получаем 0/(−6) = 0 ≤ 0 ✓ — x = 2 в ответе.

шаг 4.Случай x ≠ 2

При x ≠ 2 на ОДЗ S > 0 (хотя бы один корень строго положителен), и можно делить на положительное S. Деление на 3 (положительное) направление не меняет. Остаётся (x − 2)/((x − 4)(x + 1)) ≤ 0.

шаг 5.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −1 (выколота), 2 (закрашена — учтена в случае выше как изолированная), 4 (выколота). Анализируем знак на ОДЗ.

Пробная точка x = 0: (0 − 2)/((0 − 4)(0 + 1)) = −2/(−4) = 1/2 > 0, значит на (−1; 2) знак «+». На (−∞; −1): знак «−» ✓; на (2; 4): «−» ✓. ОДЗ пересекает «−» зоны в (−∞; −1) и [3; 4) (правая часть [3; 4] плюс инклюзия 4 — но 4 выколота ОДЗ).