условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель в степени x² − 10x + 25 не должен обращаться в ноль.
x² − 10x + 25 = (x − 5)² по формуле квадрата разности.
шаг 2.Снимаем основание степени
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Получаем дробное неравенство с модулем в числителе. Знаменатель (x − 5)² всегда > 0, поэтому дробь < 0 равносильна тому, что её ЧИСЛИТЕЛЬ < 0.
Поскольку основание 4 > 1, функция 4^t строго возрастает: 4^A < 4^B ⟺ A < B (знак и строгость сохраняются).
шаг 3.Чётность выражения
· x² — гладкая (парабола), растёт квадратично, монотонно убывает при x < 0 и возрастает при x > 0;
· |x| — с изломом в нуле, растёт линейно.
Если x встречается только под модулем или в виде x² (например, ) — всё выражение чётное, график симметричен относительно оси y. Достаточно решить неравенство для , а ответ для получить симметричным отражением.
Если x появляется вне модуля и не в квадрате (например, ) — чётность теряется, левая и правая половины ведут себя по-разному.
содержит x как и — оно чётное. Случай даст ответ, симметричный случаю .
Поэтому достаточно решить неравенство при x > 0, а потом отразить.
шаг 4.Решение при x > 0
При x > 0 имеем |x| = x. Получившийся квадратный трёхчлен раскладываем по Виета (сумма корней 7, произведение 6 → 1 и 6) и решаем методом интервалов.
Метод интервалов: парабола (x − 1)(x − 6) ветвями вверх, знак «−» между корнями совпадает с условием < 0. Оба корня положительные, так что условие шага x > 0 не обрезает решение: остаётся 1 < x < 6 (строгое — корни выколоты).
шаг 5.Отражение для x < 0 и объединение
С учётом условия x > 0 из предыдущего шага получили 1 < x < 6. Так как функция чётная, ответ для x < 0 — зеркальное отражение этого интервала относительно нуля: −6 < x < −1. Объединяем обе половины.
Решение «при x > 0» и его зеркальное отражение для x < 0 объединяются через ИЛИ. Получаем симметричную картину вокруг нуля.
шаг 6.Пересечение с ОДЗ
Точка x = 5 попадает в правый интервал (1; 6) — пересечение с ОДЗ (x ≠ 5) разрезает его на (1; 5) и (5; 6). Левый интервал (−6; −1) остаётся без изменений.
Левый интервал (−6; −1) лежит вне области исключения — сохраняется. Правый (1; 6) содержит x = 5 (выколота по ОДЗ), разрезается на (1; 5) и (5; 6). Все границы открытые — исходное неравенство строгое.