Задача 10150326 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

3^{| x |} - 8 - \frac{3^{| x |} + 9}{9^{| x |} - 4 \cdot 3^{| x |} + 3} \leq \frac{5}{3^{| x |} - 1}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

9^{| x |} = {(3^{| x |})}^{2}

9^{| x |} - 4 \cdot 3^{| x |} + 3 = (3^{| x |} - 1) (3^{| x |} - 3)

{\begin{matrix} (3^{| x |} - 1) (3^{| x |} - 3) \neq 0 \\ 3^{| x |} - 1 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} 3^{| x |} \neq 1 \\ 3^{| x |} \neq 3 \end{matrix} ⟺

{\begin{matrix} | x | \neq 0 \\ | x | \neq 1 \end{matrix} ⟺ x \neq 0, x \neq \pm 1

Корни t² − 4t + 3 устно по Виета: произведение 3, сумма 4 → 1 и 3. Дублирующее 3^{|x|} ≠ 1 (есть и во втором знаменателе) выписываем один раз.

шаг 2.Замена на t

Положим t = 3^{|x|}. Из |x| ≥ 0 следует t ≥ 1; ОДЗ исключает x = 0 (это t = 1), поэтому t > 1 — это критическое ограничение, отличающее задачу от случая 3^x.

t = 3^{| x |}, t > 1, t \neq 3

t - 8 - \frac{t + 9}{(t - 1) (t - 3)} \leq \frac{5}{t - 1}

Поскольку |x| ≥ 0, минимальное значение t = 3^0 = 1, но ОДЗ-исключение x = 0 убирает эту точку. Этот момент учтём на шаге метода интервалов.

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (t − 1)(t − 3).

t - 8 - \frac{t + 9}{(t - 1) (t - 3)} - \frac{5}{t - 1} \leq 0

\frac{(t - 8) (t - 1) (t - 3) - (t + 9) - 5 (t - 3)}{(t - 1) (t - 3)} \leq 0

шаг 4.Раскладываем числитель

Общий множитель (t − 1) выносим, оставшийся квадратный трёхчлен t² − 11t + 18 раскладываем по Виета.

\begin{matrix} (t - 8) (t - 1) (t - 3) - (t + 9) - 5 (t - 3) = \\ = (t - 8) (t - 1) (t - 3) - 6 t + 6 = \\ = (t^{2} - 11 t + 24) (t - 1) - 6 (t - 1) = \\ = (t - 1) (t^{2} - 11 t + 18) = (t - 1) (t - 2) (t - 9) \end{matrix}

\frac{(t - 1) (t - 2) (t - 9)}{(t - 1) (t - 3)} \leq 0

Корни t² − 11t + 18 устно по Виета: произведение 18, сумма 11 → 2 и 9.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корни числителя: 2 и 9 — закрашены (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя 3 — выколота. Точка t = 1 — четный корень → петелька (выколота по ОДЗ), знак через неё не меняется. После — пересечение с ОДЗ t > 1, t ≠ 3: левая часть отрезается, остаётся (1; 2] ∪ (3; 9].

Пробная точка t = 0 на (−∞; 1): (0−1)(0−2)(0−9)/((0−1)(0−3)) = −18/3 = −6 < 0, знак «−». Через петельку 1 знак не меняется; через корни 2, 3, 9 чередуются. После пересечения с ОДЗ t > 1, t ≠ 3 остаётся (1; 2] ∪ (3; 9].

шаг 6.Обратная замена

Связь t = 3^{|x|} монотонна по |x|: |x| = log₃t. Дальше снимаем модуль — каждое двойное неравенство на |x| распадается на систему:

«|x| < b» даёт x ∈ (−b; b), «|x| > a» — x ∉ [−a; a].

Пересечение этих условий внутри каждого случая даёт два симметричных x-интервала. Два случая 1), 2) объединяются в итоговый ответ.

t = 3^{| x |} ⟺ | x | = \log_{3} t

\begin{matrix} t = 1 & ⟹ | x | = \log_{3} 1 = 0 \\ t = 2 & ⟹ | x | = \log_{3} 2 \\ t = 3 & ⟹ | x | = \log_{3} 3 = 1 \\ t = 9 & ⟹ | x | = \log_{3} 9 = 2 \end{matrix}

1) t \in (1; 2] ⟺ 0 < | x | \leq \log_{3} 2 ⟺ {\begin{matrix} | x | \leq \log_{3} 2 \\ | x | > 0 \end{matrix} ⟺

{\begin{matrix} - \log_{3} 2 \leq x \leq \log_{3} 2 \\ x \neq 0 \end{matrix} ⟺ x \in [- \log_{3} 2; 0) \cup (0; \log_{3} 2]

2) t \in (3; 9] ⟺ 1 < | x | \leq 2 ⟺ {\begin{matrix} | x | \leq 2 \\ | x | > 1 \end{matrix} ⟺

{\begin{matrix} - 2 \leq x \leq 2 \\ x < - 1 или x > 1 \end{matrix} ⟺ x \in [- 2; - 1) \cup (1; 2]

Типы границ сохраняются: открытое в |x| → открытое в x, закрытое → закрытое. Точка t = 1 здесь выколота ОДЗ, поэтому x = 0 в ответ не попадает.

ответ

x \in [- 2; - 1) \cup [- \log_{3} 2; 0) \cup (0; \log_{3} 2] \cup (1; 2]

$2^{| x |} - 6 - \frac{9 \cdot 2^{| x |} - 37}{4^{| x |} - 7 \cdot 2^{| x |} + 12} \leq \frac{1}{2^{| x |} - 4}$