Задача 10150169 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{20 x^{2} - 32 x + 3}{3 x^{2} + 7 x + 2} \leq 0

шаг 1.Раскладываем числитель

Считаем дискриминант квадратного трёхчлена 20x² − 32x + 3.

20 x^{2} - 32 x + 3 = 0

D = {(- 32)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 3 = 1024 - 240 = 784

x = \frac{32 \pm \sqrt{784}}{40} = \frac{32 \pm 28}{40} \begin{matrix} = \frac{3}{2} \\ = \frac{1}{10} \end{matrix}

20 x^{2} - 32 x + 3 = 20 (x - \frac{3}{2}) (x - \frac{1}{10})

шаг 2.Раскладываем знаменатель

Считаем дискриминант 3x² + 7x + 2.

3 x^{2} + 7 x + 2 = 0

D = 7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25

x = \frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{- 7 \pm 5}{6} \begin{matrix} = - \frac{1}{3} \\ = - 2 \end{matrix}

3 x^{2} + 7 x + 2 = 3 (x + \frac{1}{3}) (x + 2)

шаг 3.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

3 (x + \frac{1}{3}) (x + 2) \neq 0 ⟺ {\begin{matrix} x \neq - \frac{1}{3} \\ x \neq - 2 \end{matrix}

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −2 (выколота — точка разрыва), −1/3 (выколота — точка разрыва), 1/10 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≤), 3/2 (закрашена).

\frac{20 (x - \frac{3}{2}) (x - \frac{1}{10})}{3 (x + \frac{1}{3}) (x + 2)} \leq 0

Пробная точка x = 10: 20·(10 − 3/2)(10 − 1/10) / (3·(10 + 1/3)(10 + 2)) — числитель и знаменатель положительны, значит на (3/2; +∞) знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя 1/10 и 3/2; точки разрыва −2 и −1/3 остаются выколотыми.

ответ

x \in (- 2; - \frac{1}{3}) \cup [\frac{1}{10}; \frac{3}{2}]