условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатели не должны обращаться в ноль.
ОДЗ
шаг 2.Чётность выражения
В неравенстве x встречается только как |x| и x²|x| и x² при переходе через ноль
Обе функции — x² и |x| — чётные и неотрицательные, но в нуле ведут себя по-разному:
· x² — гладкая (парабола), растёт квадратично, монотонно убывает при x < 0 и возрастает при x > 0;
· |x| — с изломом в нуле, растёт линейно.
· x² — гладкая (парабола), растёт квадратично, монотонно убывает при x < 0 и возрастает при x > 0;
· |x| — с изломом в нуле, растёт линейно.
y = x²
y = |x|
Когда выражение остаётся чётным
Если x встречается только под модулем или в виде x² (например, ) — всё выражение чётное, график симметричен относительно оси y. Достаточно решить неравенство для , а ответ для получить симметричным отражением.
Если x встречается только под модулем или в виде x² (например, ) — всё выражение чётное, график симметричен относительно оси y. Достаточно решить неравенство для , а ответ для получить симметричным отражением.
Когда чётность ломается
Если x появляется вне модуля и не в квадрате (например, ) — чётность теряется, левая и правая половины ведут себя по-разному.
Если x появляется вне модуля и не в квадрате (например, ) — чётность теряется, левая и правая половины ведут себя по-разному.
x только как x² и |x| → корни симметричны: ±1, ±2
x³ вне модуля → 3 корня не симметричны
В нашей задаче
содержит x как и — оно чётное. Случай даст ответ, симметричный случаю .
— обе функции чётные. Значит, и всё выражение чётное: график симметричен относительно оси y, и ответ для x < 0 — зеркальное отражение ответа для x > 0 относительно нуля.содержит x как и — оно чётное. Случай даст ответ, симметричный случаю .
Поэтому достаточно решить неравенство при x > 0, а потом отразить.
шаг 3.Решение при x > 0
При x > 0 имеем |x| = x. Переносим всё в левую часть и приводим к общему знаменателю x². Получившуюся дробь решаем методом интервалов.
Метод интервалов: три корня 2±2√5 и 0. У 0 — чётная кратность (x² в знаменателе) - петелька, знак выражения через эту точку не меняется. Пробная точка справа (например, x = 10) даёт «+»; левее знаки чередуются с учётом петельки. Дробь ≤ 0 на интервалах: [2−2√5; 0) ∪ (0; 2+2√5]. (2−2√5 ≈ −2,5 < 0)Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 4.Отражение для x < 0 и объединение
С учётом условия x > 0 из предыдущего шага остаётся 0 < x ≤ 2 + 2√5. Так как функция чётная, ответ для x < 0 — зеркальное отражение этого интервала относительно нуля. Объединяем обе половины.
Численно 2 + 2√5 ≈ 6,47. Итог — симметричный относительно нуля отрезок с выколотой точкой x = 0.