шаг 1.Область допустимых значений

Числитель дроби не меньше четырёх, а знаменатель — сумма модуля и квадрата — обращается в ноль только при x = −2 и x = 0 одновременно, что невозможно. Значит аргумент логарифма положителен при любом x.

Оба слагаемых знаменателя неотрицательны, поэтому их сумма равна нулю только когда каждое равно нулю. Это разные точки — значит знаменатель строго положителен.

шаг 2.Снимаем логарифм

Домножаем обе части на положительный знаменатель — знак сохраняется.

шаг 3.Раскрытие модулей по интервалам

Первый модуль меняет знак в нулях произведения x(x − 2), второй — в точке x = −2. Три границы делят ось на четыре интервала.

шаг 4.Случай 1: x < −2

Подставляем раскрытие, приводим подобные и пересекаем с условием случая.

Ограничение x ≤ 6 на луче x < −2 выполнено автоматически: весь интервал входит в ответ.

шаг 5.Случай 2: −2 ≤ x < 0

Подставляем раскрытие, приводим подобные и пересекаем с условием случая.

Условие случая целиком лежит левее 2/3, поэтому пересечение совпадает с самим интервалом случая.

шаг 6.Случай 3: 0 ≤ x < 2

Здесь модуль раскрывается с противоположным знаком, и квадраты уже не сокращаются — получается квадратное неравенство.

Численно: (1 − √17)/4 ≈ −0,78 и (1 + √17)/4 ≈ 1,28. Умножение обеих частей на −1 переворачивает знак: «≥» становится «≤». Парабола ветвями вверх, корни закрашены (нестрогое ≤): трёхчлен неположителен между корнями. Левый корень отрицателен и в условие случая не попадает.

шаг 7.Случай 4: x ≥ 2

Раскрытие такое же, как во втором случае, поэтому и неравенство получается то же.

Условие x ≤ 2/3 несовместимо с условием случая x ≥ 2 — общих точек нет.

шаг 8.Объединение случаев

Первые три случая склеиваются в один луч: (−∞; −2) ∪ [−2; 0) ∪ [0; (1 + √17)/4]. Четвёртый случай пуст.

Правая граница — это (1 + √17)/4 ≈ 1,28. Проверка: x = 1 ⇒ дробь равна 5/4 ≥ 1, логарифм по основанию 0,5 отрицателен ✓. Проверка: x = 1,5 ⇒ дробь равна 4,75/5,75 < 1, логарифм положителен — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.