условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем правый знаменатель: 24 − 11x + x² = x² − 11x + 24 = (x − 3)(x − 8) (Виета: произведение 24, сумма 11 → 3 и 8). Знаменатели не должны обращаться в ноль.
ОДЗ
шаг 2.Сворачиваем полный квадрат
В числителе правой части — полный квадрат: 4 − 20x + 25x² = (5x)² − 2·5x·2 + 2² = (5x − 2)² (формула a² − 2ab + b² = (a − b)²). Тот же квадрат уже стоит в числителе левой части.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим правую часть налево и приводим к общему знаменателю (x − 3)(x − 8). Первое слагаемое домножаем на (x − 8). Выносим общий множитель (5x − 2)² за скобки.
шаг 4.Метод интервалов
Корни числителя: 2/5 (чётная кратность 2 → петелька, знак через точку не меняется); закрашена, в ответе появится изолированной точкой (нестрогое ≥). Корень числителя 9 — закрашен. В знаменателе: 3, 8 — точки разрыва.
Пробная точка x = 10 на интервале (9; +∞): подставляем в (5x − 2)²(x − 9)/((x − 3)(x − 8)) и получаем 48²·1/(7·2) > 0, значит знак «+». Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Через корень числителя 2/5 чётной кратности знак не меняется (петелька); через корни 3, 8, 9 знаки чередуются. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» плюс изолированная точка x = 2/5.