Задача 10150151 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

x^{3} + 5 x^{2} + \frac{30 x^{2} + x - 8}{x - 8} \leq 1

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x - 8 \neq 0 ⟺ x \neq 8

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (x − 8). Перед дробью стоит «+», знак числителя при сведении сохраняется.

x^{3} + 5 x^{2} + \frac{30 x^{2} + x - 8}{x - 8} - 1 \leq 0

\frac{(x^{3} + 5 x^{2}) (x - 8) + (30 x^{2} + x - 8) - (x - 8)}{x - 8} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

Раскрываем единственное произведение и приводим подобные: линейные слагаемые взаимно уничтожаются. Затем выносим x² и раскладываем оставшийся квадратный трёхчлен по Виета — произведение −10, сумма 3, корни 5 и −2.

(x^{3} + 5 x^{2}) (x - 8) + (30 x^{2} + x - 8) - (x - 8) =

= x^{4} - 8 x^{3} + 5 x^{3} - 40 x^{2} + 30 x^{2} + x - 8 - x + 8 =

= x^{4} - 3 x^{3} - 10 x^{2}

x^{4} - 3 x^{3} - 10 x^{2} = x^{2} (x^{2} - 3 x - 10) = x^{2} (x - 5) (x + 2)

\frac{x^{2} (x - 5) (x + 2)}{x - 8} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −2 (закрашена), 0 (закрашена — корень кратности 2, петелька), 5 (закрашена), 8 (выколота — точка разрыва).

Пробная точка x = 10: 100·5·12/2 > 0, значит на (8; +∞) знак «+». Корень 0 чётной кратности — знак через эту точку не меняется (петелька). Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя −2, 5 и точкой 0.

ответ

x \in (- \infty; - 2] \cup {0} \cup [5; 8)