Задача 10150170 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{4 x^{2} + x - 3}{3 x^{2} + 8 x - 3} \geq 0

шаг 1.Раскладываем числитель

Считаем дискриминант квадратного трёхчлена 4x² + x − 3.

4 x^{2} + x - 3 = 0

D = 1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3) = 1 + 48 = 49

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{- 1 \pm 7}{8} \begin{matrix} = \frac{3}{4} \\ = - 1 \end{matrix}

4 x^{2} + x - 3 = 4 (x - \frac{3}{4}) (x + 1)

шаг 2.Раскладываем знаменатель

Считаем дискриминант 3x² + 8x − 3.

3 x^{2} + 8 x - 3 = 0

D = 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 3) = 64 + 36 = 100

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{- 8 \pm 10}{6} \begin{matrix} = \frac{1}{3} \\ = - 3 \end{matrix}

3 x^{2} + 8 x - 3 = 3 (x - \frac{1}{3}) (x + 3)

шаг 3.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

3 (x - \frac{1}{3}) (x + 3) \neq 0 ⟺ {\begin{matrix} x \neq \frac{1}{3} \\ x \neq - 3 \end{matrix}

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −3 (выколота — точка разрыва), −1 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≥), 1/3 (выколота — точка разрыва), 3/4 (закрашена).

\frac{4 (x - \frac{3}{4}) (x + 1)}{3 (x - \frac{1}{3}) (x + 3)} \geq 0

Пробная точка x = 10: 4·(10 − 3/4)(10 + 1) / (3·(10 − 1/3)(10 + 3)) — числитель и знаменатель положительны, значит на (3/4; +∞) знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» вместе с корнями числителя −1 и 3/4; точки разрыва −3 и 1/3 остаются выколотыми.

ответ

x \in (- \infty; - 3) \cup [- 1; \frac{1}{3}) \cup [\frac{3}{4}; + \infty)