шаг 1.Область допустимых значений

В степенях с показателем −1 спрятаны знаменатели: (x + 1)⁻¹ = 1/(x + 1), (x + 5)⁻¹ = 1/(x + 5). Раскладываем знаменатель x² + 6x + 5 на множители и выписываем ОДЗ — знаменатели ≠ 0.

Корни x² + 6x + 5 устно по теореме Виета: сумма корней равна −6, произведение 5 → −1 и −5.

шаг 2.Упрощаем левую часть

Приводим к общему знаменателю.

шаг 3.Сокращаем общий знаменатель

Знаменатель (x + 1)²(x + 5)² на ОДЗ — произведение двух положительных квадратов, всегда > 0. Умножаем обе части на него — направление неравенства сохраняется. Затем раскрываем модуль по правилу |A| ≥ a ⟺ A ≥ a или A ≤ −a.

Точки x = −1 и x = −5 уже исключены ОДЗ как нули знаменателя, поэтому умножение на (x + 1)²(x + 5)² корней не теряет.

шаг 4.Случай 1: x² − 8x ≥ 16

Решаем первую ветку совокупности.

Парабола ветвями вверх с корнями 4 ± 4√2 — вне корней положительна, между — отрицательна.

шаг 5.Случай 2: x² − 8x ≤ −16

Решаем вторую ветку. Полный квадрат всегда неотрицателен, поэтому ≤ 0 даёт единственное решение.

x² − 8x + 16 = (x − 4)² по формуле (a − b)². Квадрат ≥ 0 всегда, равенство нулю — только при x = 4 (изолированное решение).

шаг 6.Итог

Объединяем результаты двух случаев и пересекаем с ОДЗ. 4 − 4√2 ≈ −1,66; точка x = −5 ∈ (−∞; 4 − 4√2], её выкалываем; x = −1 лежит в промежутке между интервалами, на ответ не влияет.