Задача 10150177 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль. Раскладываем x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} + 3 x + 2 \neq 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} (x + 1) (x + 2) \neq 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq - 1 \\ x \neq - 2 \end{matrix}

Корни x² + 3x + 2 подбираем устно по теореме Виета: произведение 2, сумма −3 → −1 и −2.

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (x + 1)(x + 2). Первое слагаемое домножаем на (x + 1)(x + 2), второе уже с нужным знаменателем, третье — на (x + 2).

2 x + 9 + \frac{7 x + 14}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{x + 1} \leq 0

\frac{(2 x + 9) (x + 1) (x + 2) + (7 x + 14) - (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

Числитель — сумма трёх слагаемых: первое (2x + 9) домножено на (x + 1)(x + 2), у второго знаменатель уже был общий, третье (1) — на (x + 2).

(2 x + 9) (x + 1) (x + 2) + (7 x + 14) - (x + 2) =

= (2 x^{3} + 15 x^{2} + 31 x + 18) + (7 x + 14) - (x + 2) =

= 2 x^{3} + 15 x^{2} + (31 + 7 - 1) x + (18 + 14 - 2) =

= 2 x^{3} + 15 x^{2} + 37 x + 30

\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 37 x + 30}{(x + 1) (x + 2)} \leq 0

шаг 4.Раскладываем числитель

Числитель — кубический. Группировка по парам здесь не сходится, поэтому ищем рациональный корень по теореме Безу — проверяем делители свободного члена 30. Подходит x = −2: его и нужно вынести, тогда (x + 2) сократится со знаменателем.

Дальше делим многочлен на (x + 2) столбиком — это даст квадратный трёхчлен в частном (можно вместо столбика воспользоваться схемой Горнера , результат тот же).

P (x) = 2 x^{3} + 15 x^{2} + 37 x + 30

P (- 2) = 2 \cdot {(- 2)}^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{2} + 37 \cdot (- 2) + 30 =

= - 16 + 60 - 74 + 30 = 0

по теореме Безу: (x - (- 2)) = (x + 2) — множитель

\begin{array}{ll} 2 x^{3} + 15 x^{2} + 37 x + 30 & x + 2 \\ - 2 x^{3} + 4 x^{2} & 2 x^{2} + 11 x + 15 \\ 11 x^{2} + 37 x + 30 \\ - 11 x^{2} + 22 x \\ 15 x + 30 \\ - 15 x + 30 \\ 0 \end{array}

2 x^{3} + 15 x^{2} + 37 x + 30 = (x + 2) (2 x^{2} + 11 x + 15)

2 x^{2} + 11 x + 15 = 0

D = 11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 121 - 120 = 1

x = \frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{- 11 \pm 1}{4} \begin{matrix} = - \frac{5}{2} \\ = - 3 \end{matrix}

2 x^{2} + 11 x + 15 = 2 (x + \frac{5}{2}) (x + 3) = (2 x + 5) (x + 3)

2 x^{3} + 15 x^{2} + 37 x + 30 = (x + 2) (2 x + 5) (x + 3)

\frac{(x + 2) (2 x + 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 2)} \leq 0

\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x + 1} \leq 0

Сокращение (x + 2) допустимо: x = −2 уже исключено ОДЗ — корень не теряем (точка −2 вернётся выколотой при пересечении с ОДЗ).

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни числителя −3 и −5/2 закрашены (нестрогое ≤ 0). Точка разрыва −1 выколота. Точка x = −2 не входит в упрощённое выражение, но при пересечении с ОДЗ возвращается как выколотая.

Пробная точка x = 0 на интервале (−1; +∞): подставляем в (2x + 5)(x + 3)/(x + 1) и получаем (5)(3)/(1) = 15 > 0, значит знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Пересечение с ОДЗ дополнительно исключает точку −2.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Сводим к одной дроби

шаг 3.Раскрываем числитель

шаг 4.Раскладываем числитель

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

ответ