шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем x² − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5) и x³ − 9x² + 20x = x(x − 4)(x − 5). Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатели не должны обращаться в ноль.

Знак x(x − 4)(x − 5): пробная точка x = 1 даёт 1·(−3)·(−4) = 12 > 0, значит на (0; 4) знак «+»; чередуем через нечётные корни. ОДЗ корня — отрезки с «+» вместе с самими корнями. После исключения 5 остаётся [0; 4] ∪ (5; +∞).

шаг 2.Упрощаем рациональный множитель

Заменяем (x − 2)/(5 − x) на −(x − 2)/(x − 5) и приводим к общему знаменателю (x − 2)(x − 5). В числителе получается 1 + (x − 2)² — это сумма квадрата и единицы, всегда положительна.

шаг 3.Разбираем случаи √(…) = 0 и √(…) > 0

На ОДЗ √ ≥ 0, причём = 0 на нулях радиканда: x = 0, 4, 5. Точка x = 5 исключена ОДЗ — она не даёт решения. Остаются x = 0 и x = 4 как изолированные нули радиканда. При √ > 0 числитель x² − 4x + 5 > 0, поэтому всё выражение ≤ 0 ⟺ знаменатель (x − 2)(x − 5) < 0 (строго).

шаг 4.Пересечение с ОДЗ

Условие из случая 2 (2 < x < 5) пересекаем с ОДЗ [0; 4] ∪ (5; +∞). Получаем (2; 4).

Из пересечения «2 < x < 5» с ОДЗ остаётся (2; 4], потому что [4] входит в ОДЗ и в случай 2 (граница строгого неравенства не достигается, но точку x = 4 уже захватил случай 1, где √ = 0). Объединяя с x = 0 из случая 1, получаем итог.