условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем правый знаменатель: 15 − 8x + x² = x² − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5) (Виета: произведение 15, сумма 8 → 3 и 5). Знаменатели не должны обращаться в ноль.
ОДЗ
шаг 2.Сворачиваем полный квадрат
В числителе правой части — полный квадрат: 16 − 24x + 9x² = (3x)² − 2·3x·4 + 4² = (3x − 4)² (формула a² − 2ab + b² = (a − b)²). Тот же квадрат уже стоит в числителе левой части.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим правую часть налево и приводим к общему знаменателю (x − 3)(x − 5). Первое слагаемое домножаем на (x − 5). Выносим общий множитель (3x − 4)² за скобки.
шаг 4.Метод интервалов
Корни числителя: 4/3 (чётная кратность 2 → петелька, знак через точку не меняется); закрашена, в ответе появится изолированной точкой (нестрогое ≥). Корень числителя 6 — закрашен. В знаменателе: 3, 5 — точки разрыва.
Пробная точка x = 10 на интервале (6; +∞): подставляем в (3x − 4)²(x − 6)/((x − 3)(x − 5)) и получаем 26²·4/(7·5) > 0, значит знак «+». Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Через корень числителя 4/3 чётной кратности знак не меняется (петелька); через корни 3, 5, 6 знаки чередуются. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» плюс изолированная точка x = 4/3.