Задача 10150156 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль. Раскладываем x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) и x² − 3x = x(x − 3).

ОДЗ

{\begin{matrix} (x - 1) (x - 2) \neq 0 \\ x (x - 3) \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 1 \\ x \neq 2 \\ x \neq 0 \\ x \neq 3 \end{matrix}

Корни x² − 3x + 2 подбираем устно по теореме Виета: ищем два числа с произведением 2 и суммой 3 — это 1 и 2, значит x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). У второго трёхчлена x² − 3x = x(x − 3) общий множитель x.

шаг 2.Делаем замену

В обоих знаменателях встречается одно и то же подвыражение x² − 3x. Положим t = x² − 3x. Тогда x² − 3x + 2 = t + 2, x² − 3x − 2 = t − 2, x² − 3x + 16 = t + 16, и неравенство переписывается в t.

t = x^{2} - 3 x

\frac{t - 2}{t + 2} + \frac{t + 16}{t} \geq 0

шаг 3.Решаем неравенство относительно t

Общий знаменатель — t(t + 2). Раскрываем числитель, приводим подобные и узнаём в нём полный квадрат.

\frac{(t - 2) \cdot t + (t + 16) (t + 2)}{t (t + 2)} \geq 0

\frac{(t^{2} - 2 t) + (t^{2} + 18 t + 32)}{t (t + 2)} \geq 0

\frac{2 t^{2} + 16 t + 32}{t (t + 2)} \geq 0

\frac{2 (t^{2} + 8 t + 16)}{t (t + 2)} \geq 0

\frac{2 (t^{2} + 2 \cdot t \cdot 4 + 4^{2})}{t (t + 2)} \geq 0

\frac{2 {(t + 4)}^{2}}{t (t + 2)} \geq 0

Узнаём полный квадрат: t² + 8t + 16 = t² + 2·t·4 + 4² = (t + 4)² (формула a² + 2ab + b² = (a + b)²).

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни в порядке возрастания: −4 (закрашена — корень числителя кратности 2, петелька), −2 (выколота — точка разрыва), 0 (выколота — точка разрыва).

Пробная точка t = 1 на интервале (0; +∞): подставляем в 2(t + 4)² / (t(t + 2)) и получаем 2·25 / (1·3) = 50/3 > 0, значит знак «+». Корень −4 чётной кратности — знак при переходе через эту точку не меняется (петелька). Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» вместе с самой точкой t = −4: t ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞).

шаг 5.Обратная замена

Подставляем t = x² − 3x в каждое из условий — слева ветка t < −2, справа ветка t > 0. Решение каждого квадратного неравенства показано на своей числовой прямой ниже. Снизу — объединение двух ответов в финальное множество x.

t < - 2 : x^{2} - 3 x < - 2

x^{2} - 3 x + 2 < 0

(x - 1) (x - 2) < 0

x \in (1; 2)

t > 0 : x^{2} - 3 x > 0

x (x - 3) > 0

x \in (- \infty; 0) \cup (3; + \infty)

Петелька t = −4 из шага 4 лежит внутри интервала (−∞; −2) — никакого отдельного «корня от петельки» в x-ответ не приходит.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Делаем замену

шаг 3.Решаем неравенство относительно t

шаг 4.Метод интервалов в t

шаг 5.Обратная замена

ответ