условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель в степени x² − 6x + 9 не должен обращаться в ноль.
x² − 6x + 9 = (x − 3)² по формуле квадрата разности.
шаг 2.Снимаем основание степени
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Получаем дробное неравенство с модулем в числителе. Знаменатель (x − 3)² всегда > 0, поэтому дробь ≤ 0 равносильна тому, что её ЧИСЛИТЕЛЬ ≤ 0.
Поскольку основание 5 > 1, функция 5^t строго возрастает: 5^A ≤ 5^B ⟺ A ≤ B (знак сохраняется). Если бы основание было меньше 1 — направление неравенства перевернулось бы.
шаг 3.Чётность выражения
· x² — гладкая (парабола), растёт квадратично, монотонно убывает при x < 0 и возрастает при x > 0;
· |x| — с изломом в нуле, растёт линейно.
Если x встречается только под модулем или в виде x² (например, ) — всё выражение чётное, график симметричен относительно оси y. Достаточно решить неравенство для , а ответ для получить симметричным отражением.
Если x появляется вне модуля и не в квадрате (например, ) — чётность теряется, левая и правая половины ведут себя по-разному.
содержит x как и — оно чётное. Случай даст ответ, симметричный случаю .
Поэтому достаточно решить неравенство при x > 0, а потом отразить.
шаг 4.Решение при x > 0
При x > 0 имеем |x| = x. Получившийся квадратный трёхчлен раскладываем по Виета (сумма корней 7, произведение 10 → 2 и 5) и решаем методом интервалов.
Метод интервалов: парабола (x − 2)(x − 5) ветвями вверх, знак «−» между корнями совпадает с условием ≤ 0. Оба корня положительные, так что условие шага x > 0 не обрезает решение: остаётся 2 ≤ x ≤ 5.
шаг 5.Отражение для x < 0 и объединение
С учётом условия x > 0 из предыдущего шага получили 2 ≤ x ≤ 5. Так как функция чётная, ответ для x < 0 — зеркальное отражение этого отрезка относительно нуля: −5 ≤ x ≤ −2. Объединяем обе половины.
Решение «при x > 0» и его зеркальное отражение для x < 0 объединяются через ИЛИ. Получаем симметричную картину вокруг нуля.
шаг 6.Пересечение с ОДЗ
Точка x = 3 попадает в правый отрезок [2; 5] — пересечение с ОДЗ (x ≠ 3) разрезает его на [2; 3) и (3; 5]. Левый отрезок [−5; −2] остаётся без изменений.
Левый отрезок [−5; −2] лежит вне области исключения — сохраняется. Правый [2; 5] содержит x = 3 (выколота по ОДЗ), разрезается на [2; 3) и (3; 5].