шаг 1.Раскладываем знаменатель

Считаем дискриминант 10x² − 17x − 6.

шаг 2.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

шаг 3.Структура числителя

Замечаем x³ + x² + x = x(x² + x + 1), причём x² + x + 1 > 0 при всех x (дискриминант 1 − 4 = −3 < 0, ветви параболы вверх). Значит |x³ + x² + x| = |x|·(x² + x + 1). Полагаем u = x² + x + 1; тогда числитель — квадратный трёхчлен относительно u.

шаг 4.Знак числителя

Множитель (u + |x|) — сумма двух положительных слагаемых, всегда > 0. Знак числителя определяет (u − 3|x|) = x² + x + 1 − 3|x|. Раскрываем модуль по случаям.

Корни x² + 4x + 1 даёт дискриминант D = 12, после деления на 2 получаем x = −2 ± √3. Численные приближения: −2 − √3 ≈ −3,73; −2 + √3 ≈ −0,27.

шаг 5.Метод интервалов

Сводим все нули числителя и знаменателя на одну ось. Числитель = 0 в точках −2 − √3, −2 + √3, 1. Числитель < 0 только на интервале (−2 − √3; −2 + √3). Знаменатель < 0 между своими нулями.

Числитель ≥ 0 на (−∞; −2 − √3] ∪ [−2 + √3; +∞) (на правой части = 0 в точке 1, в остальном > 0). Знаменатель положителен левее меньшего нуля и правее большего, отрицателен между. Ратио ≥ 0: — на (−∞; −2 − √3] числитель ≥ 0, знаменатель > 0 — выполнено, включая границу. — на левом интервале от меньшего нуля знаменателя до −2 + √3 числитель ≤ 0, знаменатель < 0 — выполнено, включая правую границу. — x = 1: числитель = 0, знаменатель = −13 → ратио = 0, включаем как изолированную. — на (2; +∞) числитель ≥ 0, знаменатель > 0 — выполнено.