Задача 10150416 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{1}{8 x^{2} + 6 x} \geq \frac{1}{\sqrt{8 x^{2} + 6 x + 1} - 1}

шаг 1.Делаем замену

Подвыражение 8x² + 6x стоит и слева, и под корнем (там оно на единицу больше). Полагаем u = 8x² + 6x.

u = 8 x^{2} + 6 x

\frac{1}{u} \geq \frac{1}{\sqrt{u + 1} - 1}

шаг 2.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно, оба знаменателя не обращаются в ноль. Условие √(u + 1) − 1 ≠ 0 равносильно u ≠ 0 — то же, что и для левого знаменателя.

ОДЗ

{\begin{matrix} u + 1 \geq 0 \\ u \neq 0 \\ \sqrt{u + 1} - 1 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} u \geq - 1 \\ u \neq 0 \end{matrix}

шаг 3.Домножаем на сопряжённое

Умножаем числитель и знаменатель правой дроби на сопряжённое выражение √(u + 1) + 1. По формуле разности квадратов знаменатель превращается в u, и обе дроби получают общий знаменатель.

\frac{1}{\sqrt{u + 1} - 1} = \frac{\sqrt{u + 1} + 1}{{(\sqrt{u + 1})}^{2} - 1^{2}} = \frac{\sqrt{u + 1} + 1}{u}

\frac{1}{u} \geq \frac{\sqrt{u + 1} + 1}{u}

\frac{1 - (\sqrt{u + 1} + 1)}{u} \geq 0

\frac{- \sqrt{u + 1}}{u} \geq 0

\frac{\sqrt{u + 1}}{u} \leq 0

Умножение обеих частей на −1 переворачивает знак: «≥» становится «≤».

шаг 4.Решение в u

Корень в числителе неотрицателен. Если он равен нулю, дробь равна нулю и нестрогое неравенство выполняется. Если он положителен, знаменатель обязан быть отрицательным.

1) \sqrt{u + 1} = 0

u = - 1

2) \sqrt{u + 1} > 0

u < 0

Оба случая складываются в один промежуток: −1 ≤ u < 0.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаем u = 8x² + 6x и распадаем двойное неравенство в систему из двух условий.

{\begin{matrix} 8 x^{2} + 6 x \geq - 1 \\ 8 x^{2} + 6 x < 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} 8 x^{2} + 6 x + 1 \geq 0 \\ 2 x (4 x + 3) < 0 \end{matrix}

D = 6^{2} - 4 \cdot 8 = 36 - 32 = 4

x = \frac{- 6 \pm 2}{16} \begin{matrix} = - \frac{1}{4} \\ = - \frac{1}{2} \end{matrix}

8 x^{2} + 6 x + 1 = (4 x + 1) (2 x + 1)

шаг 6.Пересечение

Первое условие: парабола ветвями вверх неотрицательна вне корней −1/2 и −1/4. Второе: парабола 2x(4x + 3) отрицательна между корнями −3/4 и 0.

Проверка по Виета: для 8x² + 6x + 1 сумма корней должна равняться −3/4, произведение — 1/8. У нас (−1/2) + (−1/4) = −3/4 и (−1/2) · (−1/4) = 1/8 — оба сходятся. Проверка: x = −0,6 ⇒ u = −0,72, слева 1/u ≈ −1,39, справа ≈ −2,12 — неравенство верно ✓. Проверка: x = −0,4 ⇒ u = −1,12 < −1, ОДЗ нарушена — точка не подходит ✓.

ответ

x \in (- \frac{3}{4}; - \frac{1}{2}] \cup [- \frac{1}{4}; 0)

$\frac{1}{6 x^{2} - 5 x} \geq \frac{1}{\sqrt{6 x^{2} - 5 x + 1} - 1}$