условие
шаг 1.Область допустимых значений
Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатели не должны обращаться в ноль. Первый корень сворачивается в модуль: x² − 8x + 16 — полный квадрат.
√(6 − x) = 1 равносильно 6 − x = 1, то есть x = 5.
шаг 2.Выносим общий множитель
В обеих частях стоит один и тот же квадрат — обозначим его R². Переносим всё влево и выносим R² за скобку.
Квадрат R² неотрицателен, поэтому произведение неотрицательно либо когда R = 0, либо когда неотрицательна вторая скобка.
шаг 3.Случай 1: R = 0
Дробь равна нулю, когда её числитель обращается в ноль.
Точка x = 5 не входит в ОДЗ (там знаменатель обращается в ноль), остаётся изолированная точка x = 3.
шаг 4.Случай 2: R ≠ 0
Здесь на R² можно поделить — знак сохраняется. Приводим оставшуюся скобку к общему знаменателю x и раскладываем числитель по теореме Виета.
Проверка по Виета: для x² − 5x + 4 сумма корней должна равняться 5, произведение — 4. У нас 1 + 4 = 5 и 1 · 4 = 4 — оба сходятся. Пробная точка x = 2 на интервале (1; 4): (2 − 1)(2 − 4)/2 = −1 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение случая 2: (0; 1] ∪ [4; +∞).
шаг 5.Объединение и пересечение с ОДЗ
Складываем результаты двух случаев и пересекаем с ОДЗ: правый луч обрезается шестёркой и разрывается выколотой точкой x = 5.
Точка x = 3 из первого случая лежит внутри интервала, где вторая скобка отрицательна, и попадает в ответ изолированно. Проверка: x = 3 ⇒ числитель R равен нулю, обе части равны нулю ✓. Проверка: x = 2 ⇒ вторая скобка равна −1, R ≠ 0, произведение отрицательно — точка не подходит ✓.