условие

x4−2x3+x2x2+x−2−2x3+x2+x−1x+2≤1

шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1). Знаменатели не должны обращаться в ноль.

ОДЗ
x2+x−2=(x+2)(x−1)
{(x+2)(x−1)≠0x+2≠0⟺{x≠−2x≠1

Корни x² + x − 2 устно по теореме Виета: произведение −2, сумма −1 → −2 и 1.

шаг 2.Сокращаем первую дробь

В числителе первой дроби x⁴ − 2x³ + x² = x²(x² − 2x + 1) = x²(x − 1)² (полный квадрат). Сокращается множитель (x − 1).

x4−2x3+x2=x2(x2−2x+1)=x2(x−1)2
x2(x−1)2(x+2)(x−1)−2x3+x2+x−1x+2≤1
x2(x−1)x+2−2x3+x2+x−1x+2≤1

Сокращение (x − 1) допустимо: x = 1 уже исключено ОДЗ как корень знаменателя, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем.

шаг 3.Сводим к одной дроби

У обеих дробей общий знаменатель (x + 2). Объединяем и переносим 1 направо в общий знаменатель.

x2(x−1)−(2x3+x2+x−1)x+2≤1
x3−x2−2x3−x2−x+1x+2≤1
−x3−2x2−x+1x+2≤1
−x3−2x2−x+1x+2−1≤0
−x3−2x2−x+1−(x+2)x+2≤0
−x3−2x2−2x−1x+2≤0

шаг 4.Раскладываем числитель

Сначала выносим минус из числителя: −x³ − 2x² − 2x − 1 = −(x³ + 2x² + 2x + 1). Дальше числитель — кубический. Группировка по парам здесь не работает (общего множителя у пар не возникает), поэтому ищем рациональный корень по теореме Безу — проверяем делители свободного члена 1, то есть ±1. Подходит x = −1 (P(1) = 6, а P(−1) = 0).

Дальше делим многочлен на (x + 1) столбиком — это даст квадратный трёхчлен в частном (можно вместо столбика воспользоваться схемой Горнера Схема Горнера
Компактный способ поделить многочлен на (x−r). Все вычисления укладываются в две строки: сверху — коэффициенты делимого, снизу — коэффициенты частного и остаток.
Алгоритм:
— первый коэффициент сносим вниз без изменений;
— каждый следующий = текущий коэффициент сверху +r⋅ (предыдущий снизу);
— последнее число — остаток (если он 0, деление точное); остальные числа снизу — коэффициенты частного.
Применим к x3+2x2+2x+1 и r=−1. Коэффициенты сверху: 1,2,2,1.
         │   1     2     2     1
   r=−1  │   1     1     1     0
Считаем по шагам:
— сносим 1;
2+(−1)⋅1=1;
2+(−1)⋅1=1;
1+(−1)⋅1=0 — остаток ноль.
Нижняя строка 1,1,1,0 — это коэффициенты частного x2+x+1 и остаток 0. Тот же ответ, что и при делении столбиком.
, результат тот же).
−x3−2x2−2x−1=−(x3+2x2+2x+1)
P(x)=x3+2x2+2x+1
P(−1)=(−1)3+2⋅(−1)2+2⋅(−1)+1=−1+2−2+1=0
по теореме Безу: (x−(−1))=(x+1) — множитель
Теорема Безу
Если число r — корень многочлена P(x) (то есть P(r)=0), то (x−r) — множитель P(x). Обратное тоже верно.
Как ищем r: перебираем делители свободного члена. У нас многочлен x3+2x2+2x+1 — свободный член 1, его делители всего два: ±1. Подставляем оба кандидата:
P(1)=1+2+2+1=6≠0
P(−1)=−1+2−2+1=0
Значит r=−1 — корень, и по теореме Безу (x−(−1))=(x+1) — множитель числителя.
−x3+2x2+2x+1x+1−x3+x2+2x+1x2+x+1−x3x2+2x+1x3−x2+x+2x+1−x3+x2x+1x3+x2−x+1−x3+x2+x0
x3+2x2+2x+1=(x+1)(x2+x+1)
Деление столбиком
Делим x3+2x2+2x+1 на (x+1). На каждом шаге смотрим на старший член текущего «остатка» и подбираем такой множитель к (x+1), чтобы старшие члены совпали. Это и есть очередной член частного.
1) На что умножить (x+1), чтобы получилось x3? На x2. Записываем x2 в частное и вычитаем x2⋅(x+1)=x3+x2. Остаётся x2+2x+1.
2) На что умножить (x+1), чтобы получилось x2? На x. Дописываем x в частное, вычитаем x⋅(x+1)=x2+x. Остаётся x+1.
3) На что умножить (x+1), чтобы получилось x? На 1. Дописываем 1 в частное, вычитаем 1⋅(x+1)=x+1. Остаток 0 — деление точное.
В правом столбце собралось частное x2+x+1, значит x3+2x2+2x+1=(x+1)(x2+x+1).
x2+x+1=0
D=12−4⋅1=−3<0
нет действительных корней, x2+x+1>0 при всех x
−(x+1)(x2+x+1)x+2≤0

Парабола x² + x + 1 ветвями вверх, без действительных корней — строго положительна. В методе интервалов её множитель знак не меняет.

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Так как x² + x + 1 > 0 при всех x, знак упрощённого выражения определяется множителями −(x + 1) и (x + 2). На оси «неравенство» работаем с −(x+1)(x²+x+1)/(x+2) — у неё всего две точки: −2 (выколота, корень знаменателя) и −1 (закрашена, корень числителя, нестрогое ≤).

−+−неравенство2−1−
−∞
+∞
x
ОДЗ2−1
−∞
+∞
x
пересечение2−1−1
−∞
+∞
x

Пробная точка x = 0 в упрощённом виде: −(0 + 1)(1)/(0 + 2) = −1/2 < 0, значит на (−1; +∞) знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево, шаблон «− + −» на оси «неравенство». Пересечение с ОДЗ дополнительно выкалывает точку x = 1, и интервал [−1; +∞) в финальный ответ приходит как [−1; 1) ∪ (1; +∞).

ответ

x∈(−∞;−2)∪[−1;1)∪(1;+∞)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -