Задача 10150329 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

3 | x + 1 | + \frac{1}{2} | x - 2 | - \frac{3}{2} x \leq 8

шаг 1.Умножаем на 2

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножаем обе части на 2 (положительное, направление сохраняется).

6 | x + 1 | + | x - 2 | - 3 x \leq 16

шаг 2.Раскрытие модулей по интервалам

Каждый модуль раскрывается в зависимости от знака выражения внутри: точка x = −1 — граница (x + 1); точка x = 2 — граница (x − 2). Эти границы делят числовую ось на три интервала.

| x + 1 | = {\begin{matrix} - (x + 1), & x < - 1 \\ x + 1, & x \geq - 1 \end{matrix}

| x - 2 | = {\begin{matrix} - (x - 2), & x < 2 \\ x - 2, & x \geq 2 \end{matrix}

шаг 3.Случай 1: x < −1

Подставляем раскрытие, упрощаем и пересекаем с условием случая.

| x + 1 | = - (x + 1), | x - 2 | = - (x - 2)

6 (- (x + 1)) + (- (x - 2)) - 3 x \leq 16

- 6 x - 6 - x + 2 - 3 x \leq 16

- 10 x - 4 \leq 16

x \geq - 2

шаг 4.Случай 2: −1 ≤ x < 2

Подставляем раскрытие, упрощаем и пересекаем с условием случая.

| x + 1 | = x + 1, | x - 2 | = - (x - 2)

6 (x + 1) + (- (x - 2)) - 3 x \leq 16

6 x + 6 - x + 2 - 3 x \leq 16

2 x + 8 \leq 16

x \leq 4

шаг 5.Случай 3: x ≥ 2

Подставляем раскрытие, упрощаем и пересекаем с условием случая.

| x + 1 | = x + 1, | x - 2 | = x - 2

6 (x + 1) + (x - 2) - 3 x \leq 16

4 x + 4 \leq 16

x \leq 3

шаг 6.Объединение случаев

Все три интервала склеиваются: [−2; −1) ∪ [−1; 2) ∪ [2; 3] = [−2; 3].

ответ

x \in [- 2; 3]