условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем x² − 2x − 3 по Виета (произведение −3, сумма 2 → корни 3 и −1). Знаменатель не должен обращаться в ноль.
ОДЗ
шаг 2.Сводим к одной дроби
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (x − 3)(x + 1).
шаг 3.Раскрываем числитель
Раскрываем произведение (x + 2)(x − 3)(x + 1). Замечаем, что (x − 3)(x + 1) = x² − 2x − 3 — это уже посчитано в ОДЗ. После приведения подобных кубические члены взаимно уничтожаются.
Виета для x² − x − 6: произведение −6, сумма 1 → корни 3 и −2.
шаг 4.Метод интервалов
Корни в порядке возрастания: −2 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≤), −1 (выколота — точка разрыва), 3 — четный корень → петелька (выколота по ОДЗ), знак через неё не меняется.
Пробная точка x = 10: −4·7·12/(7·11) < 0, значит на (3; +∞) знак «−».
Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево; через x = 3 (общий ноль числителя и знаменателя) знак НЕ меняется — петелька. Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнем числителя −2; точки −1 и 3 остаются выколотыми.