условие

x−5−35x−319x2−14x+45≤1x−9

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль. Корни x² − 14x + 45 находим через дискриминант: D = 196 − 180 = 16, x = (14 ± 4)/2 → 5 и 9.

ОДЗ
{x2−14x+45≠0x−9≠0⟺{(x−5)(x−9)≠0x−9≠0⟺{x≠5x≠9

Дублирующее условие x ≠ 9 (оно есть и во втором знаменателе, и в корнях первого) выписываем один раз.

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (x − 5)(x − 9). Первое слагаемое домножаем на (x − 5)(x − 9), второе уже с нужным знаменателем, третье — на (x − 5).

x−5−35x−319(x−5)(x−9)−1x−9≤0
(x−5)(x−5)(x−9)−(35x−319)−(x−5)(x−5)(x−9)≤0

шаг 3.Раскрываем числитель

Числитель — сумма трёх слагаемых: первое (x − 5) домножено на (x − 5)(x − 9), у второго знаменатель уже был общий, третье (1) — на (x − 5).

(x−5)(x−5)(x−9)−(35x−319)−(x−5)=
=(x3−19x2+115x−225)−(35x−319)−(x−5)=
=x3−19x2+(115−35−1)x+(−225+319+5)=
=x3−19x2+79x+99
x3−19x2+79x+99(x−5)(x−9)≤0

шаг 4.Раскладываем числитель

Числитель — кубический. Группировка по парам здесь не сходится, поэтому ищем рациональный корень по теореме Безу — проверяем делители свободного члена 99. Подходит x = 9: его и нужно вынести, тогда (x − 9) сократится со знаменателем.

Дальше делим многочлен на (x − 9) столбиком — это даст квадратный трёхчлен в частном (можно вместо столбика воспользоваться схемой Горнера Схема Горнера
Компактный способ поделить многочлен на (x−r). Все вычисления укладываются в две строки: сверху — коэффициенты делимого, снизу — коэффициенты частного и остаток.
Алгоритм:
— первый коэффициент сносим вниз без изменений;
— каждый следующий = текущий коэффициент сверху +r⋅ (предыдущий снизу);
— последнее число — остаток (если он 0, деление точное); остальные числа снизу — коэффициенты частного.
Применим к x3−19x2+79x+99 и r=9. Коэффициенты сверху: 1,−19,79,99.
       │   1    −19    79    99
   r=9 │   1    −10   −11     0
Считаем по шагам:
— сносим 1;
−19+9⋅1=−10;
79+9⋅(−10)=−11;
99+9⋅(−11)=0 — остаток ноль.
Нижняя строка 1,−10,−11,0 — это коэффициенты частного x2−10x−11 и остаток 0. Тот же ответ, что и при делении столбиком.
, результат тот же).
P(x)=x3−19x2+79x+99
P(9)=93−19⋅92+79⋅9+99=
=729−1539+711+99=0
по теореме Безу: (x−9) — множитель
Теорема Безу
Если число r — корень многочлена P(x) (то есть P(r)=0), то (x−r) — множитель P(x). Обратное тоже верно.
Как ищем r: перебираем делители свободного члена. У нас многочлен x3−19x2+79x+99 — свободный член 99, его делители: ±1,±3,±9,±11,±33,±99. Подставляем кандидата и проверяем, обращается ли многочлен в ноль.
В этой задаче «целевой» корень очевиден: в знаменателе уже стоит (x−9), и мы хотим его сократить — значит, в первую очередь проверяем r=9. Если P(9)=0, то (x−9) — множитель числителя.
−x3−19x2+79x+99x−9−x3−9x2+79x+99x2−10x−11−x3−10x2+79x+99x3−−10x2+90x+99−x3−10x2−11x+99x3−10x2−−11x+99−x3−10x2−11x0
x3−19x2+79x+99=(x−9)(x2−10x−11)
Деление столбиком
Делим x3−19x2+79x+99 на (x−9). На каждом шаге смотрим на старший член текущего «остатка» и подбираем такой множитель к (x−9), чтобы старшие члены совпали. Это и есть очередной член частного.
1) На что умножить (x−9), чтобы получилось x3? На x2. Записываем x2 в частное и вычитаем x2⋅(x−9)=x3−9x2. Остаётся −10x2+79x+99.
2) На что умножить (x−9), чтобы получилось −10x2? На −10x. Дописываем −10x в частное, вычитаем −10x⋅(x−9)=−10x2+90x. Остаётся −11x+99.
3) На что умножить (x−9), чтобы получилось −11x? На −11. Дописываем −11 в частное, вычитаем −11⋅(x−9)=−11x+99. Остаток 0 — деление точное.
В правом столбце собралось частное x2−10x−11, значит x3−19x2+79x+99=(x−9)(x2−10x−11).
x2−10x−11=0
D=(−10)2−4⋅(−11)=100+44=144
x=10±1442=10±122=11=−1
x2−10x−11=(x−11)(x+1)
x3−19x2+79x+99=(x−9)(x−11)(x+1)
(x−9)(x−11)(x+1)(x−5)(x−9)≤0
(x−11)(x+1)x−5≤0

Сокращение (x − 9) допустимо: x = 9 уже исключено ОДЗ — корень не теряем (точка 9 вернётся выколотой при пересечении с ОДЗ).

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни числителя −1 и 11 закрашены (нестрогое ≤ 0). Точка разрыва 5 выколота. Точка x = 9 не входит в упрощённое выражение, но при пересечении с ОДЗ возвращается как выколотая.

−+−+неравенство1−511
−∞
+∞
x
ОДЗ59
−∞
+∞
x
пересечение1−5911
−∞
+∞
x

Пробная точка x = 12 на интервале (11; +∞): подставляем в (x − 11)(x + 1)/(x − 5) и получаем (1)(13)/(7) = 13/7 > 0, значит знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Пересечение с ОДЗ дополнительно исключает точку 9.

ответ

x∈(−∞;−1]∪(5;9)∪(9;11]
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -