шаг 1.Свёртка в полный квадрат

x² − 6|x| + 9 = (|x|)² − 2·|x|·3 + 3² = (|x| − 3)². Это сразу выявляет общий знаменатель |x| − 3.

шаг 2.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль.

шаг 3.Приводим к общему знаменателю и факторизуем

Приводим все три члена к общему знаменателю (|x| − 3)². Знаменатель (|x| − 3)² > 0 на ОДЗ, поэтому неравенство ≥ 0 равносильно числителю ≥ 0. Числитель — квадратный трёхчлен относительно (|x| − 3) с корнями 1 и 3 (Виета).

Корни (|x| − 3)² − 4(|x| − 3) + 3 = 0 устно по теореме Виета: произведение 3, сумма 4 → корни 1 и 3.

шаг 4.Знаки множителей произведения

Произведение ≥ 0 в двух случаях: оба множителя ≤ 0 или оба ≥ 0. Полученное модульное неравенство раскрываем по стандарту |f| ≤ a ⟺ −a ≤ f ≤ a; |f| ≥ a ⟺ f ≤ −a или f ≥ a.

В случае «а» сильное условие |x| ≤ 4 уже гарантирует |x| ≤ 6; в случае «б» аналогично |x| ≥ 6 гарантирует |x| ≥ 4. Поэтому каждая система свёртывается в одно модульное неравенство, которое раскрывается стандартно.

шаг 5.Объединение и учёт ОДЗ

Собираем решения: интервал [−4; 4] из 4-а и лучи (−∞; −6] ∪ [6; +∞) из 4-б. По ОДЗ исключаем x = ±3 — они попадают в [−4; 4], центральный интервал разрывается на [−4; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 4].