условие

x+8x−45x−7+x2+15x−132x2−16x+63≤1

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели обеих дробей не должны обращаться в ноль. Корни x²−16x+63 найдём в шаге 2.

ОДЗ
{x−7≠0x2−16x+63≠0⟺{x≠7x≠9

Дублирующее условие x ≠ 7 (оно есть и в первом знаменателе, и в корнях второго) выписываем один раз.

шаг 2.Раскладываем знаменатель

Квадратный трёхчлен в знаменателе второй дроби раскладываем через дискриминант.

x2−16x+63=0
D=162−4⋅63=256−252=4
x=16±42=16±22=9=7
x2−16x+63=(x−7)(x−9)

шаг 3.Сводим к одной дроби

Подставляем разложение, переносим единицу влево (объединяем с x в множитель (x − 1)), приводим всё к общему знаменателю (x − 7)(x − 9) и упрощаем числитель.

x+8x−45x−7+x2+15x−132(x−7)(x−9)≤1
(x−1)+8x−45x−7+x2+15x−132(x−7)(x−9)≤0
(x−1)(x−7)(x−9)+(8x−45)(x−9)+(x2+15x−132)(x−7)(x−9)≤0
(x−1)(x−7)(x−9)+(8x−45)(x−9)+(x2+15x−132)==x3−9x2−7x2+63x−x2+9x+7x−63+8x2−72x−−45x+405+x2+15x−132=x3−8x2−23x+210
x3−8x2−23x+210(x−7)(x−9)≤0

шаг 4.Раскладываем числитель

Числитель — кубический. Группировка по парам здесь не работает (общего множителя у пар не возникает), поэтому ищем рациональный корень по теореме Безу — проверяем делители свободного члена 210. Подходит x = 7: его и нужно вынести тогда (x − 7) сократится со знаменателем.

Дальше делим многочлен на (x − 7) столбиком — это даст квадратный трёхчлен в частном (можно вместо столбика воспользоваться схемой Горнера Схема Горнера
Компактный способ поделить многочлен на (x−r). Все вычисления укладываются в две строки: сверху — коэффициенты делимого, снизу — коэффициенты частного и остаток.
Алгоритм:
— первый коэффициент сносим вниз без изменений;
— каждый следующий = текущий коэффициент сверху +r⋅ (предыдущий снизу);
— последнее число — остаток (если он 0, деление точное); остальные числа снизу — коэффициенты частного.
Применим к x3−8x2−23x+210 и r=7. Коэффициенты сверху: 1,−8,−23,210.
       │   1     −8    −23    210
   r=7 │   1     −1    −30      0
Считаем по шагам:
— сносим 1;
−8+7⋅1=−1;
−23+7⋅(−1)=−30;
210+7⋅(−30)=0 — остаток ноль.
Нижняя строка 1,−1,−30,0 — это коэффициенты частного x2−x−30 и остаток 0. Тот же ответ, что и при делении столбиком.
, результат тот же).
P(x)=x3−8x2−23x+210
P(7)=73−8⋅72−23⋅7+210=343−392−161+210=0
по теореме Безу: (x−7) — множитель
Теорема Безу
Если число r — корень многочлена P(x) (то есть P(r)=0), то (x−r) — множитель P(x). Обратное тоже верно.
Как ищем r: перебираем делители свободного члена. У нас многочлен x3−8x2−23x+210 — свободный член 210, его делители: ±1,±2,±3,±5,±6,±7,±10,… Подставляем кандидата и проверяем, обращается ли многочлен в ноль.
В этой задаче «целевой» корень очевиден: в знаменателе уже стоит (x−7), и мы хотим его сократить — значит, в первую очередь проверяем r=7. Если P(7)=0, то (x−7) — множитель числителя.
−x3−8x2−23x+210x−7−x3−7x2−23x+210x2−x−30−x3−x2−23x+210x3−−x2+7x−23x+210−x3−x2−30x+210x3−x2−−30x+210−x3−x2−30x0
x3−8x2−23x+210=(x−7)(x2−x−30)
Деление столбиком
Делим x3−8x2−23x+210 на (x−7). На каждом шаге смотрим на старший член текущего «остатка» и подбираем такой множитель к (x−7), чтобы старшие члены совпали. Это и есть очередной член частного.
1) На что умножить (x−7), чтобы получилось x3? На x2. Записываем x2 в частное и вычитаем x2⋅(x−7)=x3−7x2. Остаётся −x2−23x+210.
2) На что умножить (x−7), чтобы получилось −x2? На −x. Дописываем −x в частное, вычитаем −x⋅(x−7)=−x2+7x. Остаётся −30x+210.
3) На что умножить (x−7), чтобы получилось −30x? На −30. Дописываем −30 в частное, вычитаем −30⋅(x−7)=−30x+210. Остаток 0 — деление точное.
В правом столбце собралось частное x2−x−30, значит x3−8x2−23x+210=(x−7)(x2−x−30).
x2−x−30=0
D=1+120=121
x=1±1212=1±112=6=−5
x2−x−30=(x−6)(x+5)
x3−8x2−23x+210=(x−7)(x−6)(x+5)
(x−7)(x−6)(x+5)(x−7)(x−9)≤0
(x−6)(x+5)x−9≤0

Сокращение (x − 7) допустимо: x = 7 уже исключено ОДЗ — корень не теряем (точка 7 вернётся выколотой при пересечении с ОДЗ).

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни числителя −5 и 6 закрашены (нестрогое ≤ 0). Точка разрыва 9 выколота. Точка x = 7 не входит в упрощённое выражение, но при пересечении с ОДЗ исходного выражения возвращается как выколотая.

−+−+неравенство5−69
−∞
+∞
x
ОДЗ79
−∞
+∞
x
пересечение5−679
−∞
+∞
x

Пробная точка x = 10 на интервале (9; +∞): подставляем в (x−6)(x+5)/(x−9) и получаем (10−6)(10+5)/(10−9) = 4·15/1 = 60 > 0, значит знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Пересечение с ОДЗ дополнительно исключает точку 7.

ответ

x∈(−∞;−5]∪[6;7)∪(7;9)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -